¿Cuál es el punto de subespacios?

Question

He estado estudiando para mi álgebra lineal final de los últimos días, y sólo tenía este pensamiento. Yo sé lo que es un subespacio es; es un subconjunto de un espacio vectorial que contiene el vector cero, y conserva la suma y la multiplicación escalar. Pero, ¿qué podemos hacer con un set después de que hemos descubierto que es un subespacio? Las preguntas en mi libro de texto sólo ir tan lejos como nos dice para determinar si un conjunto es un subespacio o no, no estamos pidió usar el hecho de que un conjunto es un subespacio de hacer algo más. Así que mi pregunta es, ¿cuál es el punto de un subespacio, entonces?

Gracias

Answer 1

Es una situación poco frecuente en las matemáticas para encontrarse a sí mismo mirando a un conjunto particular y el pensamiento, "hmm, me pregunto si esto es un subespacio".

De hecho, esto sólo acerca de sólo pasa cuando estás en un principio algebra lineal curso y los ejercicios. Y el punto de estos ejercicios es que no para entrenar la habilidad de contar subespacios de no subespacios (que en sí mismo es bastante inútil), pero para darte una oportunidad para desarrollar una intuición de lo que es un subespacio, y, en particular, lo que puede depender de si alguien le da un conjunto y promesas, "oh, por cierto, me aseguré de que este es un subespacio".

Muchos de los posteriores conceptos y resultados en álgebra lineal se formulan en términos de subespacios, así que con el fin de poder entender e internalizar los resultados de las necesidades de un ser absolutamente familiarizado con la idea de lo que es un subespacio es, y no sólo en el nivel de ser capaz de reproducir la definición en el comando, pero en el nivel de tener una idea rápida de lo que puede y no se puede esperar de un subespacio.

Por ejemplo, para hablar acerca de la dimensión que necesita un subespacio. Si usted tiene un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto solución es traducido un subespacio. Subespacios propios son subespacios. Las luces son subespacios. Ortogonal complementos son subespacios. Si usted tiene una transformación lineal entre espacios vectoriales, la imagen de un subespacio es un subespacio, y la preimagen de un subespacio es también un subespacio -- en particular, la imagen de todo el dominio es un subespacio, y la preimagen de $\{0\}$ es un subespacio. Esto por sí solo puede enseñar mucho acerca de la estructura de los conjuntos de un espacio vectorial en el cual el concreto cálculos puede ser difícil de llevar a cabo o incluso imaginar intuitivamente.

Answer 2

El conjunto de todas las soluciones a un lineal homogénea de la ecuación diferencial: $$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+ a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots+ a_1(x)\frac{dy}{dx}+ a_0(x)y= 0$$ form an $n$ dimensional subspace of the space of all $n$ times differentiable functions. That means that means that, while there are an infinite number of functions satisfying that equation, if we can find just $n$ independent solutions, $y_1(x),$ $y_2(x),$ $\dots,$ $y_{n-1}(x),$ $y_n(x),$ then we can write any solution, $y(x),$ as $$y(x)= C_1y_x(x)+ C_2y_2(x)+ \dots+ C_1y_1(x).$$ El punto crucial es que la definición de "subespacio" la suma de dos funciones tales o como una función de veces un número es todavía en el subespacio.

El conjunto de todas las soluciones a los lineales nohomogéneos de ecuaciones diferenciales, $$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+ a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots+ a_1(x)\frac{dy}{dx}+ a_0(x)y= f(x)$$ do no forman un subespacio de manera que no podemos formar nuevas soluciones mediante la adición de los viejos o multiplicar por números.

Answer 3

Es importante por la misma razón por qué es importante que algo es un espacio vectorial: tienes toda la teoría del álgebra lineal a tu disposición.

Answer 4

Pensar en uno esférico cuerpo que gira alrededor de otro bajo la influencia de la atracción gravitacional mutua. No es, creo, trivial o poco interesante para demostrar que el movimiento de los cuerpos de los centros se encuentra en un plano, es decir, un 2-dimensional subespacio de un espacio tridimensional. De manera similar, en la química no es trivial que el benceno es planar (es decir, los centros de los núcleos de sus átomos de carbono se encuentran en un 2-dimensional subespacio), mientras que el ciclohexano no lo es.

Answer 5

Como usted probablemente sabe, el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ en el que todos vivimos es un espacio vectorial. Los subespacios lineales de este espacio son las líneas y los planos que pasan por el origen. Si usted está tratando de hacer cualquier cosa con un geométricas sabor, líneas y planos son importantes, por supuesto. En realidad, líneas y planos que no pasan por el origen son útiles, también. Estos no son subespacios lineales, que son afines subespacios, los cuales están relacionados.

Así que, ¿qué se puede hacer con líneas y planos que no se puede hacer con la arbitraria de subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$? Estoy seguro que usted puede pensar en algunas cosas. Aquí están algunos ejemplos:

1. Usted fácilmente puede parametrizar. Una línea es un conjunto de vectores de la forma $t\mathbf{a}$ donde $\mathbf{a}$ es algunos de vectores y $t$ es un número. Del mismo modo, un plano es un conjunto de vectores de la forma $u\mathbf{a} + v\mathbf{b}$.

2. Usted puede medir la distancia a una línea o un plano fácilmente (sólo por encontrar un vector perpendicular).

3. Son fáciles de intersección. La intersección de dos planos por el origen es una línea o un plano. Ambos son subespacios.

4. Líneas y planos nos dan conceptos de tangencia.