¿Cómo puedo demostrar que $7^{31}$ es mayor que $8^{29}$ ?
Intenté escribir exponentes como multiplicación, $2\cdot 15 + 1$ et $2\cdot 14+1$ escribir esta desigualdad como $7^{2\cdot 15}\cdot 7 > 8^{2\cdot 14}\cdot 8$ . También he intentado escribir el lado derecho como $\frac{8^{31}}{8^2}$ .
La siguiente demostración (no especialmente elegante) utiliza multiplicaciones y divisiones razonablemente básicas.
Tenemos que demostrar que $7^{31} > 8^{29}$ es decir, que $\dfrac{7^{31}}{8^{29}}>1$ .
Tenemos: $\dfrac{7^{31}}{8^{29}}=\dfrac{7^{2}\cdot7^{29}}{8^{29}}=\dfrac{7^{3}}{8}\Big(\dfrac{7}{8}\Big)^{28}=\dfrac{7^{3}}{8}\Big(\dfrac{7^4}{8^4}\Big)^{7}=\dfrac{7^{3}}{8}\Big(\dfrac{2401}{4096}\Big)^{7} > \dfrac{7^{3}}{8}\Big(\dfrac{2400}{4100}\Big)^{7}=\dfrac{7^{3}}{8}\Big(\dfrac{24}{41}\Big)^{7}=\dfrac{7^{3}}{8}\dfrac{24}{41}\Big(\dfrac{24}{41}\Big)^{6}=\dfrac{3 \cdot 7^{3}}{41}\Big(\dfrac{24^2}{41^2}\Big)^{3}=\dfrac{3 \cdot 7^{3}}{41}\Big(\dfrac{576}{1681}\Big)^{3}>\dfrac{3 \cdot 7^{3}}{41}\Big(\dfrac{576}{1683}\Big)^{3}=\dfrac{3 \cdot 7^{3}}{41}\Big(\dfrac{9 \cdot 64} {9\cdot 187}\Big)^{3}=\dfrac{3 \cdot 7^{3}}{41}\Big(\dfrac{64} {187}\Big)^{3}=\dfrac{2^{18} \cdot 3 \cdot 7^3}{11^3 \cdot 17^3 \cdot 41}=\dfrac{2^{18} \cdot 3 \cdot 7^3}{1331 \cdot 17^3 \cdot 41}>\dfrac{2^{18} \cdot 3 \cdot 7^3}{1332 \cdot 17^3 \cdot 41}=\dfrac{2^{16} \cdot 7^3}{111 \cdot 17^3 \cdot 41}=\dfrac{2^{16} \cdot 7^3}{4551 \cdot 17^3}>\dfrac{2^{16} \cdot 7^3}{4557 \cdot 17^3}=\dfrac{2^{16} \cdot 7}{93 \cdot 17^3}=\dfrac{2^{16} \cdot 7}{1581 \cdot 17^2}>\dfrac{2^{16} \cdot 7}{1582 \cdot 17^2}=\dfrac{2^{15}}{113 \cdot 17^2}=\dfrac{2^{15}}{1921 \cdot 17}>\dfrac{2^{15}}{1924 \cdot 17}=\dfrac{2^{13}}{481 \cdot 17}=\dfrac{8192}{ 8177}>1. \quad\square$
Puede que a otros les erice la piel esta "prueba", pero:
$$7^{31} = 157,775,382,034,845,806,615,042,743 \\ 8^{29} = 154,742,504,910,672,534,362,390,528$$
Si todo lo demás falla, basta con calcular las expresiones y compararlas. Este problema en particular sólo es ligeramente tedioso de atacar de esta manera si tienes lápiz/papel.
En cierto sentido es una prueba válida, pero no veo cómo has obtenido las cifras ni por qué debería creer que las has acertado. Esta es una prueba, pero no una fácilmente verificable por humanos.
He aquí una idea para una prueba que utiliza algo de aritmética, pero espero que no demasiada. Si conoces la serie de potencias
$$-\ln(1-x)=x+{1\over2}x^2+{1\over3}x^3+\cdots$$
entonces puedes empezar por afinar la desigualdad deseada de la siguiente manera:
$$\begin{align} 7^{31}\gt8^{29}&\iff31\ln7\gt29\ln8\\ &\iff31\ln(8-1)\gt29\ln8\\ &\iff31\left(\ln8+\ln\left(1-{1\over8} \right) \right)\gt29\ln8\\ &\iff2\ln8\gt-31\ln\left(1-{1\over8} \right)\\ &\iff6\ln\left(1-{1\over2} \right)\gt-31\ln\left(1-{1\over8} \right)\\ &\iff6\left({1\over2}+{1\over8}+{1\over48}+{1\over64}+\cdots \right)\gt31\left({1\over8}+{1\over128}+{1\over1536}+\cdots \right) \end{align}$$
El ingrediente final es utilizar la desigualdad
$${1\over n}x^n+{1\over n+1}x^{n+1}+\cdots\lt{1\over n}\left(x^n+x^{n+1}+\cdots \right)={x^n\over n(1-x)}$$
al truncar la suma infinita de la derecha. Puede llevar un par de intentos encontrar truncamientos que funcionen.
Añadido más tarde (después de ver la respuesta de math110): Había olvidado bastante mi propia respuesta (de hace dos años) al problema de demostrar $\sqrt7^\sqrt8\gt\sqrt8^\sqrt7$ . En él, mostraba todos los pasos necesarios para establecer
$$-\ln\left(1-{1\over8} \right)\lt{137\over1024}\quad\text{and}\quad6\ln2\gt{1063\over256}$$
Así que lo único que queda aquí es señalar que
$$4\cdot1063=4252\gt4247=31\cdot137$$
¡Uf!
Tenemos que demostrar $(\frac {7}{8})^{29}>\frac {1}{49}$ . Escriba a
$(\frac {7}{8})^{29}=(1-\frac 18)^{29}=[1- (\frac 18)^{29}]+\binom {29} {1}[1-(\frac 18)^{28}]+….+\binom {29} {14}[1-(\frac18)^{14}]$
Sólo el primer término de esta suma de positivos ya es mayor que $\frac {1}{49}$ . Uno tiene $[1- (\frac 18)^{29}]>\frac {1}{49}\iff 8^{29}-1 > \frac {8^{29}}{49}$ que está bastante claro.
No, no tengo. Eso no tiene nada que ver con mi comentario. Sólo pregunto qué fórmula has utilizado aquí.
La expresión
$$7^{31}>8^{29}$$
Equivale a $$31\ln(7)>28\ln(8)$$ donde $\ln$ denota el logaritmo natural. Como $7>e$ esto equivale a $$\frac{31}{28}>\frac{\ln(8)}{\ln(7)}$$
La relación anterior puede comprobarse fácilmente con la calculadora.
Alternativamente, en una línea similar
$$7^{31}=\left(7^{\frac{31}{29}}\right)^{29}$$
En $7^{\frac{31}{29}}\approx8.01>8$ (a través de mi calculadora de bolsillo), la desigualdad es la siguiente.
Básicamente sigo mostrando esto a través del cálculo, sólo estoy tratando de hacer los cálculos un poco más agradable.
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Esta desigualdad es equivalente a $31<29 \log_7 8$ o $\frac{31}{29}>\log_7 8$ así que si puedes encontrar el logaritmo y luego multiplicarlo por $29$ entonces lo tienes. Cómo hallar el logaritmo numéricamente es una cuestión sustancial en sí misma. ${}\qquad{}$
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Esto falla: $$\left( 1 + \frac{1}{7} \right)^{7\cdot 4 \frac{1}{7}} \leq e^{4 \frac{1}{7}} \geq 7^2$$ ¿Alguna idea mejor?
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Creo que tal vez este problema es de mi viejo problema cuando Christian Blatter solución un paso math.stackexchange.com/questions/431461/
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Tal vez podrías intentar usar el teorema binomial. Tenga en cuenta que $7=8-1$ y $8=7+1$ .
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Me encantaría ver una prueba utilizando el teorema del binomio, pero parece que los dos valores son dos cerca (relativamente) para los límites simples para trabajar.
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@lhf tal vez comparando pairwise los términos en las sumas o algo así podría ayudar ... Lo pensaré