Felices fiestas a todos! La siguiente es parte de la pregunta, la parte visual de la galería, y en la parte de la mecánica clásica problema. Inspirado por la nieve durante el fin de semana me empezó a simular las vibraciones de la siguiente red hexagonal del sistema:
El 271 puntos púrpura representan el punto de masas de masa $m=1$ y están separadas entre sí por una distancia $a=1$, y a cada punto de la masa está conectado a cada uno de sus seis vecinos más cercanos a través de los resortes con el resto de la longitud de $L=1$ y la constante del resorte $k$. Los puntos rojos son fijos en su lugar, y esencialmente actuar como un inmueble de la condición de límite, mientras que los puntos púrpuras son libres de moverse horizontal y verticalmente en el plano. La celosía ha $D_{6}$ simetría, y tres de los elementos verticales (reflexión $\sigma_v$, horizontal reflexión $\sigma_h$, e $\pi/3$ rotación $C_6$) se muestra de referencia.
Todo el potencial del sistema se convierte en $$U(\mathbf{r})=\sum_{i,j}\frac{1}{2}k\left(L-\left|(\mathbf{r}_i^{e}+\mathbf{r}_i)-(\mathbf{r}_j^{e}+\mathbf{r}_j)\right|\right)^2$$ donde $$\mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_{271})^\mathsf{T}=(x_1,y_1,x_2,y_2,...,x_{271},y_{271})^\mathsf{T}$$ es el vector que representa el estado de la deformación del sistema de la configuración de equilibrio $\mathbf{r}^e$ en la imagen de arriba ($\mathbf{r}_i$ representa el vector de desplazamiento de la $i$th punto de equilibrio), y donde la suma se ejecuta más de vecino más cercano de pares.
Según la costumbre, el análisis de modo normal, es fácil mostrar que $U(\mathbf{0})=0$$\nabla U(\mathbf{0})=\mathbf{0}$, y por lo tanto el sistema admite la de segundo orden expansión de Taylor
$$U(\mathbf{r})=\mathbf{r}^\mathsf{T}\mbox{H}\mathbf{r}+O\left(\mathbf{r}^3\right)$$ donde $$\mbox{H}=\nabla\nabla U(\mathbf{0})$$ es el $542 \times 542$ matriz Hessiana de los potenciales de equilibrio. Para pequeñas oscilaciones, el modo normal de la imagen es aplicable, y el eigenvibrations son las columnas de la ortonormales eigenbasis $\Lambda$ de $\mbox{H}$. $\mbox{H}$ tiene una forma cerrada de bloque de expresión de la matriz, aunque omito aquí por razones de brevedad.
Tenga en cuenta que $$U(\mathbf{r})=U(\Gamma_g\mathbf{r})$$ for all $\mathbf{r}$ and for all $g\en D_6$ where $\Gamma_g$ is the matrix representation of the symmetry operation $g$- for example, $\Gamma_{C_6}$ is the block matrix that maps every coordinate to the one 60 degrees CCW rotated from it, and also rotates each vector by 60 degrees. Since $U(\mathbf{r})=U(\Gamma_g\mathbf{r})$, we can take derivatives twice to obtain $$\nabla\nabla U(\mathbf{r})=\Gamma_g^\mathsf{T}\nabla\nabla U(\Gamma_g\mathbf{r})\Gamma_g.$$ By noting that $\Gamma_g^\mathsf{T}=\Gamma_g^{-1}$ for all $g\en D_6$ and setting $\mathbf{r}=0$, obtenemos $$\Gamma_g\mbox{H}=\mbox{H}\Gamma_g$$ and hence $$[\mbox{H},\Gamma_{D_6}]=0.$$
Mathematica reveló que de los 180 de los 542 autoestados $\Lambda_k$ $H$ fueron solos degenerados. Como es bien sabido, un solo degenerada eigenstate de una matriz de $\mbox{H}$ es automáticamente una eigenstate de cualquier $\mbox{A}$ que $[\mbox{H},\mbox{A}]=0$, y por lo tanto todos los 180 solos degenerados vibraciones satisfacer $$\Gamma_g\Lambda_k=\lambda_k^g\Lambda_k$$ and thus manifest in numerical outputs as strikingly beautiful patterns, which I'll show in a second. In particular, they are eigenstates of $\sigma_v,\sigma_h,C_6$ and the inversion operator $i$.
Mientras tanto, los otros 362 autoestados son doblemente degenerados y así Mathematica simplemente escupe un arbitrario par que abarca cada subespacio propio, por lo que no tiene muy buen aspecto. Sin embargo, pueden ser "simetría-proyectada" a través de los medios habituales, que me experimentalmente se encontró fue el mejor hecho por la elección de la pareja para ser un simultánea eigenbasis de $\mbox{H}$ $\Gamma_{\sigma_v}$ (que, de nuevo, se puede hacer desde $[\mbox{H},\Gamma_G]=0$). Asimismo, a partir de $\sigma_v$ viajes con $\sigma_h$, también se encuentran en una clara eigenstate de $\sigma_h$, y por extensión, los autoestados de $i=\sigma_v\sigma_h$. Sin embargo, no necesariamente son autoestados de la rotación $C_6$ desde $C_6$ no conmuta con reflexiones. Como un hoteles de estética sustituto, defino "generalizada" de los autovalores como $$\lambda_k^{g}=\left<\Lambda_k,\Gamma_{g}\Lambda_k\right>,$$ which gives the correct result whenever $\Lambda_k$ is an eigenstate of $g$, y da una especie de promedio de valor cuando no lo es.
El 542 simetría-clasificados vibraciones se visualizaron en Mathematica y exportado como un gigantesco 5343 x 8913 píxeles de la imagen. Aquí es considerablemente más pequeña vista previa de la imagen (es demasiado pequeño para leer las palabras, haga clic en el tamaño completo para ver todo en detalle):
Que han sido codificados por color, con los amarillos están solos degenerados ("puro") y el naranja son doblemente degenerados ("mixto"), su autovalor de a $\mbox{H}$ es dado ("$\lambda$"), y su simetría números con respecto a las cuatro de la simetría de las operaciones que he mencionado, también se da. Están ordenados por frecuencia de vibración, de mayor a menor. Muchos de ellos son una reminiscencia de los copos de nieve cuando se ve en baja resolución, que yo pensaba que era un poco bastante.
En este punto, todo lo que he hecho es simplemente calcular un montón de modos normales, que son válidos para pequeñas oscilaciones. Para la gran amplitud de las vibraciones, anarmónicos los efectos de acoplamiento entran en juego, la mezcla de los modos de juntas y distorsión de sus frecuencias. Para visualizar esta mezcla no lineal del proceso, he simulado numéricamente el sistema de partida fuera desplazado en la dirección de una sola eigenmode, pero con gran amplitud de vibración. La variable en el tiempo del vector de salida $\mathbf{r}(t)$ de NDSolve se convirtió entonces en la simetría-adaptado eigenbasis como $$\mathbf{r}'(t)=\Lambda^\mathsf{T}\mathbf{r}(t)$$ a producir la "población" en cada eigenmode a lo largo del tiempo, y el resultado se representa mediante ArrayPlot. Por simplicidad visual, he utilizado un menor de 37 punto de celosía, en lugar de los 271-punto de celosía he estado usando hasta ahora, aunque el mismo código se puede utilizar indistintamente para ambos.
Por ejemplo, a partir de una de las $(C_6,\sigma_v,\sigma_h,i)=(-1,-1,1,-1)$ simetría de los estados con una amplitud tal que los puntos que recorrió una distancia de aproximadamente 1/8 (es decir, menor que el entramado de desplazamiento, pero aún razonablemente grande) arrojó los siguientes:
El $x$-eje de tiempo (de izquierda a derecha), y cada una de las 74 barras horizontales representa un eigenmode, que han sido agrupados por cual de las 8 simetrías que pertenece. Blanco indica que no hay amplitud, negro indica de gran amplitud, y la escala de colores es algo logarítmica para hacer las cosas más fáciles de ver. Como puede verse, cerca del principio de la amplitud se mezcla en otros estados, pero la mezcla se limita a los estados con $(-1,-1,1,-1)$ simetría o $(1,1,1,1)$ simetría sólo. Del mismo modo, la repetición de este con un $(\frac{1}{2},-1,1,-1)$ simetría estado arrojó los siguientes:
Esta vez, el acoplamiento está limitada a cuatro clases de simetría. He encontrado que el acoplamiento sólo dependía de la simetría, que estoy seguro que la gente con más conocimientos que yo conozco bien. Por último, he de señalar que tales restricciones de simetría espontáneamente ascensor extremadamente grandes desplazamientos sin previo aviso después de algún tiempo; el tiempo en que el repentino cambio se produjo fue fuertemente dependiente de la precisión de la solucionador numérico, y el ruido aleatorio añadido a las condiciones iniciales, se produjo una inmediata ruptura de la simetría. Aquí está un ejemplo de este fenómeno:
He aquí una pregunta: este es un clásico ejemplo mecánico de ruptura espontánea de simetría? Parece que el sistema se inicia en un estado definitivo de la simetría, pero que al momento de la provocación numérica, el ruido, la población "consejos sobre el borde' y los derrames en el resto de la simetría de las clases, igualar todo.
He aquí otra pregunta. He encontrado que el acoplamiento fue no recíproco, en el sentido de que la población de $(1,-1,-1,1)$ modos podría derramarse en los modos de $(1,1,1,1)$ simetría, pero que a la inversa no era posible (es decir, el flujo de amplitud parece haber fuentes y sumideros). Para ser más específicos, el acoplamiento de las direcciones se veía así:
Si el $i,j$ entrada es de color negro, entonces la energía puede par de simetría de la clase $i$ a la simetría de la clase $j$, y si es blanco, es prohibido (con la excepción de cuando espontánea de las roturas que se producen en los extremos de las amplitudes). Tenga en cuenta que no sólo es triangular superior con la forma en que yo pedí la simetría cuadras de aquí, pero en realidad es una $2\times 2$ bloque de la matriz de la forma $$\left(\begin{array}{cc} A & A\\ 0 & A \end{array}\right)$$ donde $A$ $4\times 4$ matriz, la cual es también superior triangular. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo o por qué ocurre esto? Tengo que admitir que es todo un poco por encima de mi cabeza. Hice todo esto con la intención de imprimir carteles como regalo de Navidad para mis padres, pero me di cuenta de que todas esta cosas absurdas en el proceso. Sospecho que es algún tipo de extraño "de la mecánica clásica regla de selección" pero yo no soy muy bueno en álgebra, por lo que las razones son todos opaco a mí, y yo no he formalmente tomado de la mecánica clásica.
Como un ejemplo final de bellas imágenes, debo señalar que mi elección de simetría de proyección para el doblemente degenerados modos fue en un realista, ya que coincide con los modos propios de la correspondiente rejilla con un unitaria cortante horizontal transformación aplicada a las posiciones de equilibrio en el límite, como el corte de la matriz de los enfoques de la matriz de identidad. Para ser más específicos, la aplicación de la cizalla transformar $$\left(\begin{array}{cc} \frac{x}{1-x} & 0\\ 0 & \frac{1-x}{x} \end{array}\right)$$ a la red y computación en las frecuencias propias como una función de la $x$ rindió el siguiente patrón de belleza:
Está disponible en más alta resolución aquí. El $x$eje $x$, y cada línea representa una frecuencia propia. Tienen un montón de cruces y evitar cruces, una reminiscencia de Stark efecto de las perturbaciones en los átomos. En el límite de $x\rightarrow\frac{1}{2}$, los autoestados de $\mbox{H}$ enfoque de la simetría-adaptado.
