Demostrar que para todos los enteros no negativos $m,n$, $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m + n)!}$ es un número entero.

Question

Demostrar que para todos los enteros no negativos $m,n$, $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m + n)!}$ es un número entero.

Yo no estoy familiarizado a factoriales y no tengo mucha idea, alguien puede mostrarme cómo probar esto? Gracias.

Answer 1

Denotar $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m + n)!}$$S(n,m)$. Satisface la relación $S(n+1,m)+S(n,m+1)=4S(n,m)$ (cf. Triángulo de Pascal) - o, de manera equivalente, $S(n+1,m)=4S(n,m)-S(n,m+1)$. Desde $S(0,m)=\binom{2m}m$ es un número entero, esta relación implica que todas las $S(n,m)$ son enteros.

Ref.: I. Gessel. Super Boleta de Números (a través de MO)