Hay n-ésimo raíces de los operadores diferenciales?

Question

En analogía a un operador de Dirac, me parece que, formalmente, la ecuación

$$\frac{\partial^n}{\partial x^n}f(x,y)=D_yf(x,y)$$

se resuelve por

$$f(x,y)=\exp{(x \sqrt[n]{D_y})}\ g(y).$$

Hay una teoría que rodean la $\sqrt[n]{D_y}$-idea?

Answer 1

La respuesta corta es sí, absolutamente, y la teoría de operadores es la parte de análisis microlocal. El ingrediente básico es que los operadores diferenciales se pueden escribir como parte integral de los operadores (en un caso generalizado) a través de la transformada de Fourier. E. g.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \int e^{2\pi i kx} \hat{f}(k) dk = \int e^{2 \pi i k x} (2\pi ik) \hat{f}(k) dk. $$ Desde $\hat{f}(k) = \int e^{-2\pi i k y} f(y) dy$ (perdón si me olvidé un $2\pi$ en algún lugar), tenemos $$ \frac{d}{dx} = \int \int (2\pi i k) e^{2 \pi i k(x-y)} dy dk. $$ El lado derecho tiene que ser interpretado en un cierto sentido distributivo, pero si somos cuidadosos tales fórmulas son correctas y rigurosa. Vamos a considerar el ejemplo, $$ \frac{\partial^n}{\partial x^n} f(x,y) = D_y f(x,y) $$ y vamos a suponer que $D_y$ es común polinomio diferencial operador en $y$ con coeficientes constantes. Desde $D_y$ es un polinomio diferencial operador con coeficientes constantes, entonces $ \widehat{D_y g}(k) = P(k) \hat{g}(k)$ para algunos polinomio $P$. Esto sugiere que todo lo $\sqrt[n]{D_y}$ podría ser, debería satisfacer $$ \widehat{\sqrt[n]{D_y} g}(k) = \sqrt[n]{P(k)} \hat{g}(k). $$ Pero el uso de la transformada de Fourier, podemos tomar esto como la definición de $\sqrt[n]{D_y}$: $$ \sqrt[n]{D_y} g(y) := \int e^{2\pi i ky} \sqrt[n]{P(k)} \hat{g}(k) dk = \int \int e^{2\pi i k(y-y')} \sqrt[n]{P(k)} g(y') dy' dk. $$ Esto lleva a $$ \exp(x \sqrt[n]{D_y}) g(y) = \int \int e^{2\pi i k(y-y')} \exp(x\sqrt[n]{P(k)}) \hat{g}(k) dy' dk. $$ Mientras $P(k)$ $g(y)$ son suficientemente buena que esta expresión tiene sentido (y converge en un sentido apropiado), esto va a resolver el dado de la PDE.

Answer 2

Ya que usted menciona que el operador de Dirac, que funciona no por el análisis, pero por la ampliación de los escalares en un no conmutativa; considerar $$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & D_y \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)^3 $$ y generalizar.