¿Cómo calcular el logaritmo de un número sin una calculadora?

Question

He visto a gente mirar el registro (un número de varios dígitos) y recitar el primer par de dígitos.

Puedo obtener el valor para los valores pequeños (es decir, las raíces populares o fáciles de conocer), pero ¿hay alguna fórmula? Similar a cómo saber si un número es divisible por un número entero.

He leído este y este pero ¿podría alguien explicar por qué funciona?

Answer 1

La idea del primer artículo es reescribir cualquier número positivo $x$ como : $$\tag{1}x=m\cdot 10^{\,e}$$ con $m$ la "mantisa" : un número real entre $1$ y $10$ (excluido)
y $\,e\,$ el 'exponente' (o "potencia de diez") que es un entero con signo.

A partir de esto tenemos $\;\tag{2}\log_{10}(x)= e+\log_{10}(m)$

(para que las anotaciones sean breves, escribiré $\,\log(x)\,$ para $\,\log_{10}(x)\,$ y utilizar $\,\ln(x)$ para el logaritmo "natural")

Como la mantisa está entre $1$ y $10$ la idea es memorizar los primeros logaritmos (aquí usaré hasta $5$ dígitos, puede utilizar menos o más dígitos si lo prefiere) :

$$ \begin{array} {ll} m & \log\,m\\ 1 & 0\\ 2 & 0.30103\\ 3 & 0.47712\\ 4 & 0.60206\\ 5 & 0.69897\\ 6 & 0.77815\\ 7 & 0.84510\\ 8 & 0.90309\\ 9 & 0.95424\\ \end{array} $$

Esto parece ser mucho trabajo pero estos valores (excepto $\log(7)$ ) no son independientes:

• $\log(2^n)=n\,\log(2)\;$ para que $\;\log(4)=2\log(2),\;\log(8)=3\log(2),\cdots$
• de forma más general $\;\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\;$ para poder reescribir la tabla (utilizando $\,1=\log(10)=\log(2)+\log(5)$ ) :

$$ \begin{array} {lll} m & \log\,m\\ 1 & 0\\ 2 & 0.30103 &\log(2)\\ 3 & 0.47712 &\log(3)\\ 4 & 0.60206 &2\,\log(2)\\ 5 & 0.69897 &1-\log(2)\\ 6 & 0.77815 &\log(2)+\log(3)\\ 7 & 0.84510 &\log(7)\\ 8 & 0.90309 &3\,\log(2)\\ 9 & 0.95424 &2\,\log(3)\\ \end{array} $$

Así, la tabla puede reconstruirse con sólo tres valores (dos si $\,\log(7)\,$ ¡se omite)!

Hay que memorizar también $\;\ln(10) \approx 2.3026\,$ y su inversa multiplicativa $\;\dfrac{1}{\ln(10)}=\dfrac{\ln(e)}{\ln(10)}=\log(e)\approx \dfrac 1{2.3026}\approx 0.4343$ .

La expansión clásica $\;\ln(1+x)\approx x\;$ se reescribirá como :
$$\tag{3}\log(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln(10)}\approx 0.4343\cdot x$$ (con $x$ sustituido por $\;x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots\,$ si es necesario)

Apliquemos todo esto para recuperar el valor (desgraciadamente perdido...) de $\,\log(7)\,$ utilizando sólo $\;\log(2),\log(3),\log(e)$ . Un método es utilizar $\;\log(7)=\dfrac{\log(7^2)}2\;$ y :

\begin {align} \log (49)&= \log\left (50\; \left (1- \frac 1{50} \right ) \right ) \\ &= \log\left ( \frac {100}2 \right )+ \log\left (1- \frac 1{50} \right ) \\ & \approx\log (100)- \log (2)-0.4343 \left ( \frac 1{50}+ \frac 1{2 \cdot50 ^2} \right ) \\ & \approx 2- \log (2)- \frac {0.8686}{100} \left (1+ \frac 1{100} \right ) \\ & \approx 2-0.30103-0.00877 \\ & \approx 1.69020 \end {align}

Dividiendo por $2$ dará efectivamente el deseado $0.84510$ . Sin el $\dfrac{x^2}2$ término obtendríamos $\,0.84514$ : ¡también no es tan malo! $$-$$

Sigamos practicando y calculando $\log(29012)$ como en su artículo : $\log(29012)=\log(2.9012\cdot 10^4)=4+\log(2.9012)$

En primera aproximación tenemos $\;\log(2.9012) \approx \log(3) \approx 0.477\;$ y deducir que $\log(29012)\approx 4+0.477 \approx 4.477$ .

tenemos $\;2.9012\approx 3\cdot 0.9671 \approx 3\cdot (1-0.0329)\;$ para que \begin {align} \log (2.9012)& \approx \log (3)+ \log (1-0.0329) \\ & \approx 0.47712-0.434 \cdot 0.033 \\ & \approx 0.47712-0.0143 \\ & \approx 0.4628 \end {align}

y tenemos $\;\log(29012)\approx 4.4628\,$ no tan lejos de la exactitud $4.4625776\cdots$

Es importante entender que la tabla de logaritmos permite también el cálculo inverso que es calcular $10^{\,x}$ .

Por supuesto $10^{\,\log(2)}=2$ para que, por ejemplo $10^{\,0.3}$ será un poco más pequeño que $2$ .

Para mayor precisión y para $x\ll 1$ escribamos lo útil $\displaystyle 10^x=e^{x\ln(10)}\approx 1+\ln(10)x\;$ o $$\tag{4}10^{\,x}\approx 1+2.3026\cdot x$$

Para calcular $10^{\,x}$ descomponer $x$ en su parte entera $i$ y la parte fraccionaria $f$ entonces $10^{\,i+f}=10^{\,i}\cdot 10^{\,f}$ la mantisa de este resultado $10^{\,f}$ se encontrarán utilizando la tabla y $i$ será, por supuesto, el exponente.

Después de eso, todas las aplicaciones pueden seguir : computar $a^b$ para cualquier real positivo $a$ y real $b$ utilizando $\,\log(a^b)=b\,\log(a)\;$ para que
$$a^b=10^{\,b\log(a)}$$

Cálculo de la $n$ -La raíz de un número real positivo será sólo el caso especial $\;b=\dfrac 1n$ .

Ejemplo $\sqrt[5]{1212}$ : \begin {align} 1212& \approx 3 \cdot 4 \cdot 100 \cdot 1.01 \\ \log (1212)& \approx 2+ \log (3)+ \log (4)+0.4343/100 \\ \dfrac { \log (1212)}{5}& \approx \frac {2+0.47712+0.60206+0.00434}5 \\ \approx 0.6167 \end {align} La respuesta (aproximada $10^{\,0.6167}$ ) será, por tanto, un poco más de $4$ .

Más exactamente $\,0.61670=0.60206+0.01464\,$ y como $\,10^{0.01464}\approx 1+2.3\cdot 0.0146 \approx 1.0336\;$ un resultado aproximado será $4\cdot 1.0336$ que es : $$\sqrt[5]{1212}\approx 4.134$$ mientras que el resultado exacto es $4.1371429\cdots$ .

Se pueden utilizar muchos métodos para obtener más precisión:

• de $1212=1200\cdot 1.01$ ampliar el logaritmo (y/o la potencia de $10$ ) de segundo orden como se hace para $\log(7)$
• componer (+ -) diferentes valores exactos de logaritmos para obtener valores cercanos al buscado (ejemplo $\,1.33\approx \dfrac 43$ y por lo tanto $\;\log(1.33)\approx \log(4)-\log(3)$ )
• memorizar los valores más cercanos a $1$ : $\log(1.1)\approx 0.041393,\ \log(1.2)=\log(\frac{3\cdot4}{10})\approx 0.07918$ y así sucesivamente (debería casi "reconocer $\log(1.01)= 0.004321$ ... (ver $\log(e)$ ) y no tendrá que memorizar $\log(1.001)$ )
• $\cdots$

Te deseo que te diviertas descubriendo tú mismo otros trucos,

Answer 2

Se pueden obtener muy buenas aproximaciones utilizando

$$\frac 1 2 \log \left|\frac{1+x}{1-x}\right| =x+\frac {x^3} 3+ \frac {x^5}5+\cdots$$

Digamos que quieres conseguir $\log 3$ . Entonces toma $x=1/2$ . Entonces se obtiene

$$\log 3 \approx 2\left( \frac 1 2 +\frac 1 {24} + \frac 1 {140} \right)=1.0976190\dots$$

El valor real es $\log 3 = 1.098612289\dots$

Tómese otro plazo para conseguir

$\log 3 \approx 1.098065476\dots$ .

Nótese que esta serie en particular tiene la ventaja de que para $x < 1$ (que es donde funciona) se obtienen aproximaciones "exponencialmente crecientes".

Answer 3

Esto puede hacerse recurriendo a las series de Taylor. Para $ln(x)$ centrado en 1, es decir, donde $0 < x \leq 2$ : $$ \ln(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{n}= (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 + \frac{1}{4}(x-1)^4 + \cdot\cdot\cdot\ $$

Answer 4

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