SUGERENCIA de Su polinomio $p(n)$ se divide ${\mathbb Q}(w), w = \zeta_5$, es decir,
$ 125 \; p(x) = 125 \; (5 x^4-10 x^3+20 x^2-15 x+11) $
$\quad\quad\quad\quad\quad\; = \;\; (5 x+3 w^3-4 w^2-w-3) (5 x+4 w^3+3 w^2+7 w+1)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\; * \; (5 x-3 w^3+4 w^2+w-2) (5 x-4 w^3-3 w^2-7 w-6) $
Con respecto a las otras preguntas de la consulta y los comentarios: ha habido mucha investigación sobre las diversas formas de la caracterización de los campos de número por la división de la conducta, la norma establece, etc - que va todo el camino de regreso de nuevo a Kronecker. La búsqueda de los términos "Kronecker equivalente" o "aritméticamente equivalente" encontrará la literatura pertinente. E. g. a continuación se muestra un iluminador de revisión
MR0485790 (58 #5595) 12A65 (12A75)
Gauthier, François
Conjuntos de Kronecker et représentation des nombres estrenos par une forme quadratique binarios.
Bull. Sci. De matemáticas. (2) 102 (1978), no. 2, 129--143.
L. Kronecker [Berlín Monatsber. 1880, 155--162; Jbuch 12, 65] en primer lugar se trató de caracterizar algebraica de los campos de número, por la descomposición del comportamiento de los números primos. Recientemente, el de Kronecker clases de expresiones algebraicas número de campos que han sido estudiados por W. Jehne [J. Teoría de los números 9 (1977), no. 2, 279--320; MR0447184 (56 #5499)] y otros.
Este artículo aborda los siguientes tipos de preguntas:
(a) ¿Cuándo es el conjunto de números primos tener un determinado tipo de división en una expresión algebraica campo de número de contener (hasta un conjunto finito) de una progresión aritmética?
(b) Cuando se establece un sindicato de progresiones aritméticas?
Si $K$ algebraica de campo de número, deje $\text{spl}(K)$ denota el conjunto de los racionales los números primos que se separó completamente en $K$ y deje $\text{spl}^1(K)$ denota el conjunto de los racionales los números primos que tienen al menos un factor linear en $K$. Por otra parte, si $K/Q$ es una extensión de Galois con Galosis grupo $G$, vamos a ${\text Art}_{K/Q}$ denotar la Artin mapa que asigna una clase conjugacy de $G$ a casi todas racional de los números primos $p$. Si $C$ es una clase conjugacy de $G$ $\text{Art}_{K/Q}^{-1}(C)$ es el conjunto de números primos tener Artin símbolo $C$. Por último, un conjunto de $S$ racional de los números primos se dice que contiene una progresión aritmética o la unión de progresiones aritméticas si el conjunto de los números primos en la progresión aritmética(s) difiere de la $S$ a la mayoría de un conjunto finito.
Deje $G'$ denotar el colector de un subgrupo del grupo de Galois $G$. Dos resultados demostraron en el artículo son:
Teorema A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) $|C|=|G'|$;
(b) $\text{Art}_{K/Q}^{-1}(C)$ es la unión de progresiones aritméticas;
(c) $\text{Art}_{K/Q}^{-1}(C)$ contiene una progresión aritmética.
Teorema B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) $K/Q$ es abelian;
(b) $\text{spl}(K)$ contiene una progresión aritmética;
(c) $\text{spl}(K)$ es la unión de progresiones aritméticas;
(d) no existe un módulo de $m$ y un subgrupo ${r_1,\cdots,r_t}$ del grupo multiplicativo modulo $m$ tal que $\text{spl}(K)$ es la unión de las progresiones aritméticas $mx+r_i\ (i=1,\cdots,t)$.
Al $K/Q$ no es una extensión de Galois es bien sabido que $\text{spl}(K)=\text{spl}(\overline K)$ donde $\overline K$ denota la normal de cierre de $K$. Se sigue por el Teorema de B $\text{spl}(K)$ no puede contener una progresión aritmética. Sin embargo, el autor da dos condiciones, una necesaria y el otro suficientes, para $\text{spl}^1(K)$ a ser la unión de progresiones aritméticas al $K/Q$ no es Galois. Como una aplicación final de su resultado, el autor da una condición necesaria y suficiente para el conjunto de los números primos representado por una forma cuadrática a ser la unión de progresiones aritméticas.
Las pruebas de uso de campo de clase de teoría, las propiedades de la Artin mapa y el Čebotarev densidad teorema.
Revisado por Charles J. Parry
