Demostrar que el producto de cuatro enteros positivos consecutivos más uno es un cuadrado perfecto

Question

Necesito probar lo siguiente, pero no puedo hacerlo. Esto no es una tarea, ni algo relacionado con la investigación, sino algo que surgió como preparación para un examen.

Si $n = 1 + m$ donde $m$ es el producto de cuatro positivos consecutivos números enteros, prueban que $n$ es un cuadrado perfecto.

Ahora bien, desde $m = p(p+1)(p+2)(p+3)$ ;

$p = 0, n = 1$ - Cuadrado perfecto

$p = 1, n = 25$ - Cuadrado perfecto

$p = 2, n = 121$ - Cuadrado perfecto

¿Hay alguna manera de probar lo anterior sin inducción? Mi enfoque fue expandir $m = p(p+1)(p+2)(p+3)$ en una ecuación de 4º grado, y luego intenta probar que $n = m + 1$ es un cuadrado perfecto, pero no fui capaz de hacerlo. ¿Alguna idea de si es posible?

Answer 1

Su técnica debe han funcionado, pero si no sabes qué expansiones hacer primero puedes meterte en una maraña de álgebra y cometer errores tontos que hagan que todo se derrumbe.

El razonamiento que hice fue, bueno, tengo cuatro números multiplicados juntos, y quiero que sean dos números del mismo tamaño multiplicados juntos. Así que voy a intentar multiplicar el grande con el pequeño, y los dos del medio.

$$p(p+1)(p+2)(p+3) + 1 = (p^2 + 3p)(p^2 + 3p + 2) + 1$$

Ahora esos términos son casi lo mismo. ¿Cómo podemos forzarlos a estar juntos? Voy a utilizar el hecho básico, pero a veces pasado por alto, de que $xy = (x+1)y - y$ y de la misma manera $x(y + 1) = xy + x$ .

$$\begin{align*} (p^2 + 3p)(p^2 + 3p + 2) + 1 &= (p^2 + 3p + 1)(p^2 + 3p + 2) - (p^2 + 3p + 2) + 1 \\ &= (p^2 + 3p + 1)(p^2 + 3p + 1) + (p^2 + 3p + 1) - (p^2 + 3p + 2) + 1 \\ &= (p^2 + 3p + 1)^2 \end{align*}$$ Tada.

Answer 2

$(n-1)(n+1)+1 = n^{2}$ .

Tenga en cuenta que $(n+1)-(n-1)=2$ .

Teniendo esto en cuenta

$$\begin{align*} p(p+1)(p+2)(p+3)+1 &= (p^{2}+3p)(p^{2}+3p+2)+1 \\ &= [(p^{2}+3p+1)-1][(p^{2}+3p+1)+1]+1 \\ &= (p^{2}+3p+1)^2 \end{align*}$$

Answer 3

Aquí hay otra forma que empieza por explotar una simetría en la expresión.

Observe que si sustituye $x=p+\frac{3}{2}$ la expresión se convierte en

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) + 1$$

Ahora vea que los términos hacen el producto de 2 diferencias de cuadrados

$$\begin{align} & \quad \left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) + 1 \\&= \left(x^2-\frac{9}{4}\right)\left(x^2-\frac{1}{4}\right) + 1 \\ &= \left(x^4 - \frac{10}{4} x^2 + \frac{9}{16}\right) + 1 \\ &= x^4 - \frac{10}{4} x^2 + \frac{25}{16} \\ &= \left(x^2 - \frac{5}{4}\right)^2 \\ &= \left(p^2 + 3p + 1\right)^2 \end{align}$$

que es un cuadrado perfecto.

Answer 4

A continuación presento una generalización. $ $ Uso de las abreviaturas $\rm\ \ c = a\!+\!b,\ \ \color{red}d = ab/2\:\ $ calculamos

$$\rm\begin{eqnarray} &&\rm\qquad\quad\ \color{blue}{(x\!+\!a)\,(x\!+\!b)}\,(x\!+\!c)\,x &=&\rm\, \color{blue}{(x^2\!+cx\ \ +\ \ ab\ \ \ \, )}\,(x^2+cx\:\!) \\ && &=&\rm\, (x^2\!+cx+d\ \,\color{red}{+\, d})\,(x^2+cx+d\, \color{red}{-\,d}) \\ && &=&\rm\, (x^2\!+cx+d)^2\! \color{red}{- d^2} \\ \rm b=2\quad &\Rightarrow&\rm\quad\ \ \ \ x(x+a)(x\!+\!2)(x\!+\!a\!+\!2) &=&\,\rm (x^2\!+(a\!+\!2)\,x+a)^2 -a^2 \\ \rm a=1\quad &\Rightarrow&\rm\qquad\quad\ \ \ x(x\!+\!1)(x\!+\!2)(x\!+\!3) &=&\rm\, (x^2\!+3\:\!x+1)^2 -1\ \ \ as\ sought. \end{eqnarray}$$

Answer 5

Establecer $p+1.5=q$ . Ahora $$ \begin{align*}m &= (q-1.5)(q-0.5)(q+0.5)(q+1.5)+1 \\ &= (q-1.5)(q+1.5)(q-0.5)(q+0.5)+1 \\ &= (q^2 - 2.25)(q^2-0.25)+1 \\ \end{align*}$$

Dejemos que $q^2 = r$ .

$$\begin{align*} m &= (r-2.25)(r-0.25)+1\\ &= r^2-2.5a+1.5625 \\ &= (r-1.25)^2. \end{align*}$$

Este es un cuadrado perfecto ya que r termina en 0.25 como q termina en 0.5

Básicamente, la sustitución lo convirtió de un cuarto grado a un cuadrático, lo que facilitó su tratamiento.