¿Cuáles son algunas maneras interesantes de hacer nuevas métricas de edad métricas?

Question

Si $d(x,y)$ $e(x,y)$ son métricas, a continuación, $d(x,y)+e(x,y)$ $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ son métricas.

Si $d_i(x,y)$ $i=1,\dots,n$ son métricas que así es $\sqrt{\sum_{i=1}^n{d_i^2(x,y)}}$

Hay otras maneras interesantes de la construcción de nuevas métricas de edad métricas?

Answer 1

Personalmente, prefiero $\min(d(x,y),\epsilon)$ sobre el estándar $d(x,y)/(1+d(x,y))$ truco si el objetivo es convertir una métrica en un equivalente métrico – es mucho más fácil probar que la métrica de los axiomas de esta.

Desde que sigue a una forma de hacer una countably número infinito de mediciones en una nueva métrica: $d(x,y)=\sum\_{n=1}^\infty \min(d\_n(x,y),2^{-n})$. El punto es que la convergencia en la nueva métrica es la misma que la convergencia en todos los originales. Así que esta puede ser usada para probar cosas como $C(\mathbb{R})$ con la topología de la convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos es un espacio metrizable, y lo mismo para el espacio de funciones de prueba utilizadas en la distribución de la teoría. (El individuo $d\_n$ incluso podría ser pseudometrics en lugar de métricas; no importa, siempre y cuando $x\ne y$ implica $d\_n(x,y)\ne0$ algunos $n$.)

Answer 2

La generalización de d(x,y)/(1+d(x,y)): Sea d(x,y) sea una métrica, y deje $f: R^+ \to R^+$ ser una función con $f(0) = 0$, $f^\prime(x) > 0$ para todo x, y $f^{\prime\prime}(x) < 0$ para todo x. Entonces creo que h(x,y) = f(d(x,y)) es una métrica. Por ejemplo, la raíz cuadrada de una métrica es una métrica.

Answer 3

Tengo que confesar una aversión a la palabra "interesante" para estas construcciones! Hasta ahora, todo lo que se ha dicho es:

1. Cualquier métrica es equivalente a un almacén de métrica, por lo que "acotamiento" no es una propiedad topológica.

2. Contables de los productos de la métrica espacios son metrisable, por lo que la categoría de espacios métricos ha contables de los productos. (Por cierto, esta construcción se produce un error por arbitraria pequeña de los productos).

A lo que yo puedo añadir arbitraria pequeño co-productos: si $x,y$ están en la misma componente, tome $d(x,y) = min(d_X(x,y),1)$ e si $x,y$ se encuentran en diferentes componentes, tome $d(x,y) = 1$.

Lo que esto demuestra es que a partir de un topológico punto de vista, lo mejor es tener un almacén de métrica.

Pero yo diría que una interesante construcción es uno que no es functorial, por ejemplo, algo donde se sustituye la métrica determinada localmente por otro. Por ejemplo, en un colector siempre podemos sustituir una métrica determinada por uno, que es plana, cerca de un punto (de hecho, plana, muy cerca de un gran número de puntos), pero no necesariamente podemos reemplazarlo por uno, que es plana en todas partes.

Answer 4

Si usted tiene un suave submanifold de un colector de Riemann, por supuesto, usted tiene el subespacio métrico, pero también tiene la inducida por la ruta de métrica, que generalmente es el "derecho" de métricas para pensar.

Answer 5

Este ejemplo se puede encontrar en Munkres (p. 133). Si $X_i$ es una contables de la colección de métricas espacios con las métricas de $d_i$, vamos a $\bar{d_i} = \text{min}(d_i, 1)$ denotar la norma acotada métrica (que da a la misma topología $d_i$) y deje $d = \sup \frac{ \bar{d_i} }{i}$ definido en el producto $\prod X_i$. A continuación, esta métrica se induce el producto de la topología.