He leído que una curva elíptica es supersingular si y sólo si su endomorfismo anillo es de un orden en un álgebra de cuaterniones. ¿Alguien tiene una explicación sencilla de este (o una buena referencia)?
Respuestas
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Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, y deje $E/k$ ser una curva elíptica. En general, ¿cómo sabemos que la estructura de $\mathrm{End}(E)$?
Sabemos que las siguientes dos hechos en todos los casos: (1) se considera como un aditivo grupo, $\mathrm{End}(E)$ es gratis abelian en 1, 2 o 4 generadores; y (2) $\mathrm{End}(E) \otimes_Z Q$ es una división de álgebra. El primer hecho viene de la consideración de homología (más en este momento), y el segundo viene de la teoría de la doble isogeny.
En el caso de rank=1, debemos tener $\mathrm{End}(E)$ un pedido en $Q$, es decir,$\mathrm{End}(E)=Z$.
En el caso de rank=2, debemos tener $\mathrm{End}(E)$ una orden de una ecuación cuadrática campo $F/Q$. Este campo debe ser imaginario, porque su norma mapa se identifica con $\lambda \mapsto \lambda \lambda^\vee$, y el último es positiva definida.
En el caso de rank=4, se debe tener Extremo(E) una orden en un álgebra de cuaterniones R/P.
El último caso se descartó al $\operatorname{char}(k)=0$. No lo vemos en la característica familiar de puesta a cero, por lo que pensamos en él como extraño, pero realmente no hay nada antinatural sobre ella. La "explicación simple" que usted busca es, la mayoría de los rodeos, que no consigue descartado, ya que no hay reemplazo para $H_1(E,Z)$ en característica positiva.
Por cierto, aquí está la razón por la que se declara fuera de característica cero: Sin pérdida de generalidad por el Lefschetz principio, podemos declarar que k=C. Supongamos que $\mathrm{End}(E)$ es un fin en $R$. El duro paso en la demostración de (1) anterior muestra que las $\mathrm{End}(E)$ actos fielmente en el primer grupo de homología $H_1(E,Z)$. Concedido esto, $\mathrm{End}(E)$ incrusta como un rango de cuatro a $Z$-submódulo de $\mathrm{End}(H_1(E,Z)) = M_2(Z)$. Tensoring con $Q$ tenemos que $R = M_1(Q)$, y, por tanto, $M_1(Q)$ sería una división de álgebra, lo cual es falso.
La razón por la que menciono este argumento es que, aunque al $\operatorname{char}(k)=p>0$ el argumento falla, como se dijo (ya que uno no puede hacer $k=C$ y el acceso a $H_1(E,Z)$), aún se puede modificar para obtener información acerca de $R$. Como un sustituto de la $H_1(E,Z)$, en su lugar toma un primer $\ell$ no es igual a $p$, y considera que el $\ell$-ádico Tate módulo de $T_\ell(E) = \varprojlim_n E[\ell^n]$, con mapas de transición dada por la multiplicación por \ell. (Este gadget es un servicio gratuito de $Z_\ell$-módulo de rango 2 si $\operatorname{char}(k)=0$ o no, y cuándo $k=C$ es canónicamente identificado con $H_1(E,Z_\ell) = H_1(E,Z) \otimes_Z Z_\ell$, lo que motiva su uso como un sustituto.) Considerando de nuevo la fidelidad de la acción de la $\mathrm{End}(E)$, $\operatorname{End}(E) \otimes_Z Z_\ell$ incrusta en $\mathrm{End}(T_\ell(E)) = M_2(Z_\ell)$, y por lo tanto $R \otimes_Q Q_\ell = M_2(Q_\ell)$. Por definición, esto significa que el álgebra de cuaterniones $R$ es "dividido en $\ell$". Ahora invocamos un producto de clase global del campo de la teoría, que es la determinación de todas las álgebras de cuaterniones $Q$. Ellos incluyen parámetros por no vacío finito de conjuntos de incluso cardinalidad, que consta de los números primos y posiblemente el símbolo $\infty$. No hay una única álgebra de cuaterniones que se divide exactamente a los números primos a los que ocurren en la parametrización del conjunto. Ya que para todas las $\ell$ no es igual a $p$ sabemos que $R$ se divide en $p$, la única posibilidad para el conjunto asociado a$R$$\{p,\infty\}$. Por lo tanto sabemos, en la nariz, que el álgebra de cuaterniones $R = \mathrm{End}(E) \otimes_Z Q$ es.
ricree
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Este es un teorema de Deuring, 1941. David se refirió a esto, pero la Sección 5.3 de Silverman es La media Aritmética de Curvas Elípticas tiene una prueba de que 5 de las condiciones sobre curvas elípticas sobre una característica p de campo perfecto son equivalentes, y cualquiera de ellos puede ser tomado como la definición. Existen otras definiciones de supersingularity, relativa a la desaparición de la Naturaleza invariante (forma modular mod p definido por el autovalor de Frobenius que actúan sobre la Serre doble a los invariantes diferenciales), o la línea de paquetes con trivial p-th tensor de alimentación automática de la trivial. Mi definición favorita es que el núcleo de la multiplicación por p es la conexión de un esquema de grupo (necesariamente de orden p^2).
La l-ádico Tate módulo de una curva es un servicio gratuito de Z_l-módulo de rango 2, por lo que el endomorfismo anillo de cualquier curva elíptica es un servicio gratuito de Z-módulo de rango 1, 2, o 4, y para el rango 2 (resp. 4), el análisis de la doble isogenies muestra que el anillo tiene que ser un pedido en un imaginario cuadrática campo (resp. un álgebra de cuaterniones). Si usted asume una supersingular curva tiene endomorfismo rango 1 o 2, se puede derivar una contradicción mediante la combinación de dos hechos:
- Hay sólo un número finito de clases de isomorfismo de supersingular curvas para una determinada primer p (de hecho, el número total ponderado por automorfismos es (p-1)/24). Para ello se utiliza el hecho de que el j-invariante de un supersingular de la curva se encuentra en un campo finito.
- Dada una curva cuya endomorfismo anillo tiene rango 1 o 2, cualquier isogenous curva tiene un endomorfismo anillo con la misma fracción de campo.
La contradicción surge de la siguiente manera: Tomar una secuencia de curvas elípticas como imágenes sucesivas de la l-potencia isogenies, donde l es el elegido para ser el primer en el anillo de enteros de la fracción de campo. Dos de ellos va a ser isomorfo, por lo que obtener un endomorfismo por un cíclica isogeny. Análisis de grado muestra que este endomorfismo es igual a un automorphism compuesto con la multiplicación por una potencia de l. Sin embargo, los dos endomorphisms (presumiblemente igual) han nonisomorphic núcleos.
Dan Herbert
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Geoff Dalgas
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Hay muchas cosas divertidas que le puede pasar a curvas elípticas sobre campos finitos. Por ejemplo, el endomorfismo anillo puede ser más grande que el char en 0, y no puede haber ninguna p-torsión (incluso después de extender el campo).
Resulta que muchos de estos son equivalentes, y llamamos a una curva elíptica satisfacer estas propiedades equivalentes supersingular. Silverman del AOC tiene una buena sección de discutir esto.
