Demuestra que $2^{15}-2^3$ divide $a^{15}-a^3$ para todos $a$

Question

Demuestre que para todo $a$ , $2^{15}-2^3$ divide $a^{15}-a^3$ .

Pude demostrar que esto es cierto para todos los $a$ , de tal manera que $\gcd(a,2^{15}-2^3)=1$ utilizando el teorema de Euler, donde concluí que $a^{12}\equiv1 \pmod{2^{15}-2^3}$ ya que $a^{12}\equiv1$ , mod todo de $2^{15}-2^3$ divisores.

Para $a$ , de tal manera que $\gcd(a, 2^{15}-2^3)\neq1$ No he sido capaz de resolverlo. Pensé en repasar todos los casos de $\gcd(a,2^{15}-2^3)$ pero esto parece tedioso.

Answer 1

Similar a la respuesta de Ian san la fuerza bruta: ya que $$2^{15}-2^3=2^3\times 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$$ sólo tenemos que mostrar $a^{15}-a^3=a^3(a^{12}-1)$ es divisible por cada uno de los factores anteriores.

Por el teorema de Fermat

1. $a(a^{12}-1)$ es divisible por $13$ .
2. $a(a^6-1)$ es divisible por $7$ .
3. $a(a^4-1)$ es divisible por $5$ .

Por otra parte, es bien sabido que $a^2-1$ es divisible por $8$ si $a$ es impar. Así que $a^3(a^2-1)$ es divisible por $8$ .

Por último, para demostrar la divisibilidad por $3^2$ , tenga en cuenta que si $a$ es divisible por $3$ entonces hemos terminado. Si $a$ no es divisible por $3$ entonces $a^4=3k+1$ Así que $a^{12}-1=(3k+1)^3-1$ es divisible por $3^2$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $2^{15}-2^3=32760=2^3\times3^2\times5\times7\times13$ .

Así que tienes que demostrar que $a^{15}-a^3$ es divisible por 5,7,8,9 y 13.

Para comprobar la divisibilidad por 5 sólo tenemos que considerar $a=0\dots4$ ya que podemos escribir $a=x+5k$ donde $0\leq x\leq4$ . Lo mismo puede hacerse para cada uno de los otros divisores. Así que sólo hay que ver los casos $a=0\dots12$ .

Entonces, por fuerza bruta:

Considere $a=0$ , $0^{15}-0^3=0=32760\times0$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=1$ , $1^{15}-1^3=0=32760\times0$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=2$ , $2^{15}-2^3=32760=32760\times1$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=3$ , $3^{15}-3^3=14348880=32760\times438$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=4$ , $4^{15}-4^3=1073741760=32760\times32776$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=5$ , $5^{15}-5^3=30517578000=32760\times931550$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=6$ , $6^{15}-6^3=470184984360=32760\times14352411$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=7$ , $7^{15}-7^3=4747561509600=32760\times144919460$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=8$ , $8^{15}-8^3=35184372088320=32760\times1074004032$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=9$ , $9^{15}-9^3=205891132093920=32760\times6284833092$ así es divisible por $32760$ .

Considere $a=10$ , $10^{15}-10^3=999999999999000=32760\times30525030525$ por lo que es divisible por $32760$ .

Considere $a=11$ , $11^{15}-11^3=4177248169414320=32760\times127510627882$ así es divisible por $32760$ .

Considere $a=12$ , $12^{15}-12^3=15407021574584640=32760\times470299803864$ por lo que es divisible por $32760$ .

Answer 3

$a^{15}-a^3$ es un múltiplo de $a^{13}-a,a^7-a,a^5-a$ , por lo que cubre los factores $5,7,13$ de 32760.
Es un múltiplo de $a^3(a^2-1)$ que cubre el factor 8.
Creo que $a^9-a^3$ cubre el factor 9.