La inducción de la Prueba de que $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1})$

Question

Esta pregunta es de [Número de la Teoría de George E. Andrews 1-1 #3].

Demostrar que $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1}).$$

Este problema me está volviendo loco.
$$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots +xy^{n-2}+y^{n-1)}$$

$(x^n-y^n)/(x-y) =$ la suma de la primera $n$ números y, a continuación, añadí $(xy^{(n+1)-2}+y^{(n+1)-1})$ el cual debe ser igual a $(x^{n+1}-y^{n+1})/(x-y)$ pero no puedo averiguar

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Este es un problema similar en el libro y he probado este método, pero no

$\quad$Thereom $\bf1$-$\bf2$: $\,\,\,\,$ Si $\,x$ es cualquier número real distinto de $1$, $$\sum_{j=0}^{n-1}x^j=1+x+x^2+\ldots+x^{n-1}=\dfrac{x^n-1}{x-1}.$$ $\quad$Nota: $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}A_j$ es la abreviatura de $A_0+A_1+A_2+\ldots+A_{n-1}.$
$\quad$Prueba: Nuevo procedemos por inducción matemática. Si $n=1$$\displaystyle\sum_{j=0}^{1-1}x^j=x^0=1$$(x-1)/(x-1)=1$. Así, el teorema es cierto para $n=1$.
$\quad$ Suponiendo que $\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}x^j=(x^k-1)/(x-1)$, nos encontramos con que $$ \eqalign{ \sum^{(k+1)-1}_ {j=0}x^j & = \sum^{k-1}_ {j=0}x^j+x^k=\dfrac{x^k-1}{x-1}+x^k \\ &= \dfrac{x^k-1+x^{k+1}-x^k}{x-1}\\ &= \dfrac{x^{k+1}-1}{x-1}. }$$ Por lo tanto la condición de $(\rm ii)$ se ha cumplido, y hemos establecido el teorema.

$\quad$Corolario $\bf1$-$\bf1$: $\,\,$ Si $\,m$ $n$ son enteros positivos y si $m>1$, $n<m^n.$

Answer 1

Sugerencia: Aplique $\textbf{Theorem 1.2}$$\displaystyle \frac{x}{y}$.

Edit: Se sigue de $\textbf{Theorem 1.2}$ que $\displaystyle \Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^n -1=\Bigl(\frac{x}{y}-1\Bigr)\Bigl( \Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{n-1}+\cdots +\frac{x}{y}+1\Bigr)$.

Ahora multiplicar la ecuación por $y^n$ para obtener

$$\displaystyle y^n\Bigl(\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^n -1)\Bigr)=y^n\Bigl(\frac{x}{y}-1\Bigr)\Bigl( \Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{n-1}+\cdots +\frac{x}{y}+1\Bigr)$$

La simplificación en el lado izquierdo y rewritting $y^n$ $yy^{n-1}$ en el lado derecho obtenemos

$$(x^n -y^n)=yy^{n-1}\Bigl(\frac{x}{y}-1\Bigr)\Bigl( \Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{n-1}+\cdots +\frac{x}{y}+1\Bigr)$$

Debido a que el producto es conmutativo puede reescribir el lado de la derecha para obtener

$$(x^n -y^n)=y\Bigl(\frac{x}{y}-1\Bigr)y^{n-1}\Bigl( \Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{n-1}+\cdots +\frac{x}{y}+1\Bigr)$$

Por último, en el lado derecho, el factor de $y$$y^{n-1}$, en consecuencia, para obtener

$$(x^n -y^n)=(x-y)(x^{n-1}+\cdots +xy^{n-2}+y^{n-1})$$

Answer 2

Su hipótesis es que la inducción

$$\sum_{j=0}^{k-1}x^jy^{(k-1)-j}=\frac{x^k-y^k}{x-y}\;.$$

Ahora sigue el modelo:

$$\begin{align*} \sum_{j=0}^{(k+1)-1}x^jy^{k-j}&\overset{(1)}=\left(\sum_{j=0}^{k-1}x^jy^{k-j}\right)+x^ky^0\\ &\overset{(2)}=y\left(\sum_{j=0}^{k-1}x^jy^{(k-1)-j}\right)+x^k\\ &\overset{(3)}=y\cdot\frac{x^k-y^k}{x-y}+x^k\\ &\overset{(4)}=\frac{x^ky-y^{k+1}+x^{k+1}-x^ky}{x-y}\\ &\overset{(5)}=\frac{x^{k+1}-y^{k+1}}{x-y}\;. \end{align*}$$

$(1)$ es la división de el último término de la suma; $(2)$ factores $y$ de la suma restante; $(3)$ utiliza la inducción de la hipótesis; y $(4)$ $(5)$ son sólo álgebra.

Answer 3

$$\frac{1-(x/y)^n}{1-x/y}=1+x/y+(x/y)^2+...+(x/y)^{n-1}$$ $$\frac{(y^n-x^n)/y^n}{(y-x)/y}=\frac{y^{n-1}+xy^{n-2}+...+x^{n-1}}{y^{n-1}}$$ $$\frac{y^n-x^n}{(y-x)y^{n-1}}=\frac{y^{n-1}+xy^{n-2}+...+x^{n-1}}{y^{n-1}}$$ $$y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+xy^{n-2}+...+x^{n-1})$$

Answer 4

Vamos $u_n$ $=$ $x^n-y^n$. Ahora tenga en cuenta que $u_n$ $=$ $(x+y)u_n$$_-$$_1$ $+$ $xy$ $u_n$$_-$$_2$. Suponga que la expresión dada es verdadera para todos los números de $1$ fijos $k(>1)$. A continuación, aplicar la inducción para demostrar el resultado para $(k+1)$.