Es cada afín esquema el complemento del punto de cierre $x$ del espectro de un anillo local $A$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con elemento de identidad y deje $\operatorname{Spec}(R)$ ser el asociado afín esquema.

Para cada esquema afín $\operatorname{Spec}(R)$ existe un anillo local $A$ con ideal maximal $m$ tal que $\operatorname{Spec}(R)\cong \operatorname{Spec}(A)\setminus\{m\}$ como sistemas en los que el $\operatorname{Spec}(A)\setminus\{m\}$ lleva el único esquema de la estructura de una subscheme de $\operatorname{Spec}(A)$?

Answer 1

No.

Suponga que $R$ es un campo y $(A,\mathfrak{m})$ es un anillo local tal que $\mathrm{Spec}(R) \cong \mathrm{Spec}(A) \setminus \{\mathfrak{m}\}$.

A continuación, $A$ tiene exactamente dos primeros ideales $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{m}$$R \cong A_{\mathfrak{p}}$. El hecho general de $Q(A/\mathfrak{p}) \cong A_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p}$ implica aquí que $A/\mathfrak{p}$ incrusta en $R$.

Supongamos ahora que $R$ es un campo finito. A continuación, cada sub-anillo de $R$ es ya un campo (ya que es integral sobre el primer campo). Por lo tanto, $A/\mathfrak{p}$ es un campo, es decir, $\mathfrak{p}$ es un ideal maximal - contradicción.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\Spec}{\operatorname{Spec}}$$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$$\Spec(\mathbb{Z})$ no puede ser observado como $\Spec(A) \setminus \{m\}$ por un anillo local $(A,m)$ - el argumento aquí esencialmente puede ser adaptado pie de la letra. Conjunto $X := \Spec(A)$, $Y := \{m\}$, $U := X \setminus Y \ne \emptyset$. Observe que $\dim U < \infty \iff \dim X < \infty$ - se supone que esto es así. Para cualquier $d > 0$, hay una secuencia exacta (cf. Hartshorne Ex. III.2.3) $\DeclareMathOperator{\O}{\mathcal{O}}$ $$H^{d-1}(X, \O_X) \to H^{d-1}(U, \O_X \big|_U) \to H^d_Y(Y, \O_X) \to H^d(X, \O_X)$$

A continuación, para $d = \codim Y$, $H^d_Y(Y, \O_X) \ne 0$ por Grothendieck no desapareciendo. Si $d > 1$,$H^{d-1}(X, \O_X) = H^d(X, \O_X) = 0$, lo $H^{d-1}(U, \O_X \big|_U) \ne 0$, lo que implica $U$ no es afín (*). Esto demuestra que $U$ puede ser afín sólo si $d = 1$, en cuyo caso $\dim A = 1 \implies \dim U = 0$. Por lo tanto la única finito-dimensional de los anillos que se pueden pinchar los espectros de los locales de los anillos se $0$-dimensional.

(*): Este es Serre criterio para affineness: un esquema de $X$ es afín iff es separado, cuasi-compacto, y $H^i(X, \mathcal{F}) = 0$ para todos los quasicoherent $\mathcal{F}$, $i > 0$ (ver, por ejemplo, aquí).