La resolución de una ecuación de Diophantine: $p^n+144=m^2$

Question

He encontrado esta ecuación Diophantine: $$p^n+144=m^2$$ donde $m$ $n$ son enteros y $p$ es un número primo. He resuelto, pero quiero saber si existen otras pruebas a través del uso de reglas de la aritmética modular.

Esta es mi solución: $$p^n+144=m^2$$ $$p^n=(m+12)(m-12)$$

Con $(m+12)>(m-12)$ $m-12$ es un divisor de a $m+12$ porque $m+12=p^x$$m-12=p^y$$n=x+y$$y<x$. Ahora si $m-12$ es un divisor de $m+12$, $\frac {m+12} {m-12} \ge 2$. Si $\frac {m+12} {m-12} =2$, $m=36$ por lo tanto,$12<m<37$$24<m+12<49$. Podemos notar que el sólo potencias de números primos entre los valores de $m+12$ $25$, $27$ y $32$. Por sustitución podemos encontrar todos los valores posibles de $p$, $n$ y $m$.

Answer 1

Esto nos da $m+12=p^a$$m-12 = p^b$. Esto significa $p^a-p^b = 24$, es decir, $p^b(p^{a-b}-1) = 24 = 2^3 \cdot 3$. Tenga en cuenta que $p^b$ $p^{a-b}-1$ son de enfrente de la paridad.

• Si $b=0$, tenemos $p^a-1 = 24 \implies p^a = 25 \implies p = 5,a=2$. Por lo tanto, $m=13$.
• Si $b>0$, tenemos $p^b \mid 24$. Por lo tanto, $p=2$ o $p=3$.
  • Si $p=2$, $p^{a-b}-1$ a un ser extraño. Por lo tanto, esto significa $p^{a-b}-1=3$$p^b=2^3$. Esto nos da $b=3$$a-b=2$, es decir, $a=5$. Esto nos da $m=20$.
  • Si $p=3$,$p^b=3$$p^{a-b}-1=2^3$. Por lo tanto, $b=1$$a-b=2$, es decir, $a=3$. Esto nos da $m=15$.

Por lo tanto, las soluciones son ${\color{blue}{(m,p,n) = (13,5,2)}}$, ${\color{blue}{(m,p,n) = (20,2,8)}}$ y ${\color{blue}{(m,p,n) = (15,3,4)}}$.