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¿La conjugada compleja de una integral es igual a la integral de la conjugada?

Sea $f$ una función de valor complejo de una variable compleja. ¿Se cumple que $$ \overline{\int f(z) dz} = \int \overline{f(z)}dz \text{ ?} $$

Si $f$ es una función de variable real, la respuesta es sí ya que $$ \int f(t) dt = \int \text{Re}(f(t))dt + i\text{Im}(f(t))dt. $$

Si $f$ es una función de valor complejo de una variable compleja y pertenece a $L^2$, la respuesta también es sí ya que $L^2$ es un espacio de Hilbert y, por simetría conjugada del producto interno, $$ \overline{\langle f,g\rangle}=\langle g,f\rangle $$ donde $g(z)=1$ es la función identidad.

¿Es cierto en otros casos aparte de estos dos?
¿Es cierto en $L^1$?

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En español, manteniendo las mismas etiquetas HTML si existen: en realidad depende del dominio ej. $\int_{\mathbb{R}}g(x)^{2}dx=\infty$, entonces $g(x)\notin L^{2}[\mathbb{R}]$.

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psychotik Puntos 171

Si $\int dz$ denota una integral de contorno, entonces la respuesta es generalmente no. Una fórmula correcta es la siguiente:

$$ \overline{\int f(z) \; dz} = \int \overline{f(z)} \; \overline{dz}. $$

De hecho, sea $\gamma : I \to \Bbb{C}$ una curva agradable que parametriza el contorno $C$, entonces

$$ \overline{\int_C f(z) \; dz} = \overline{\int_I f(\gamma(t)) \gamma'(t) \; dt} = \int_I \overline{f(\gamma(t)) \gamma'(t)} \; dt= \int_C \overline{f(z)} \; \overline{dz}. $$

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¿Y por qué se cumple $ \overline{\int f(z) \; dz} = \int \overline{f(z) \; dz} $?

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@Karlo, La razón está explicada arriba.

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Más precisamente, ¿por qué se cumple $\overline{\int_I f(\gamma(t)) \gamma'(t) \; dt} = \int_I \overline{f(\gamma(t)) \gamma'(t)}$?

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M. Strochyk Puntos 7072

En general, la respuesta es "no", porque $$\overline{ \int f(z) dz} = \overline{\int \left( \text{Re}f(z) + i\text{Im}f(z)\right)dz}=\\ \int \overline{ \left( \text{Re}f(z) + i\text{Im}f(z)\right)(dx+i dy)}=\int\overline{{\left(\text{Re}f(z)dx - \text{Im}f(z)dy\right)+ i(\text{Re}f(z)dy+\text{Im}f(z)dx)}}=\\ \int{\left(\text{Re}f(z)dx - \text{Im}f(z)dy\right)}-i \cdot\int{\left(\text{Re}f(z)dy+\text{Im}f(z)dx\right)}$$

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Steven Lu Puntos 866

Otra variación: sea $\overline{\gamma}(t) = \overline{\gamma(t)}, t\in[a,b]$. Entonces, $$ \overline{\int_{\gamma}f(z)\,dz} = \overline{\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt} = \int_a^b\overline{f(\gamma(t))}\,\overline{\gamma'(t)}\,dt = \int_a^b\overline{f(\overline{\overline{\gamma}(t)})}\,\overline{\gamma}'(t)\,dt = \int_{\overline{\gamma}}\overline{f(\overline{z})}\,dz. $$

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Si esto se cumple, entonces podemos seguir adelante ya que $dz=\overline{d\bar z}$, así que $$\int_{\gamma }f(z)dz=\int_{\bar \gamma }f(\bar z)d\bar z$$

3voto

Aguila Puntos 81

Sangchul Lee proporciona una buena respuesta para el cálculo explícito de $$\overline{\int\limits_{\gamma} f(\xi) \; d\xi}.$$

Un ejemplo sencillo que demuestra que, en general, $$\overline{\int\limits_{\gamma} f(\xi) \; d\xi} \neq \int\limits_{\gamma} \overline{f(\xi)} \; d\xi$$ es el siguiente:

Sea $\gamma$ la curva que una vez rodea el círculo unitario, entonces es claro desde el análisis complejo elemental que $$\overline{\int\limits_{\gamma} \xi \; d\xi} = 0;$$ mientras que, $$\int\limits_{\gamma} \overline{\xi} \; d\xi = 2\pi i.$$

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