Sea $f$ una función de valor complejo de una variable compleja. ¿Se cumple que $$ \overline{\int f(z) dz} = \int \overline{f(z)}dz \text{ ?} $$
Si $f$ es una función de variable real, la respuesta es sí ya que $$ \int f(t) dt = \int \text{Re}(f(t))dt + i\text{Im}(f(t))dt. $$
Si $f$ es una función de valor complejo de una variable compleja y pertenece a $L^2$, la respuesta también es sí ya que $L^2$ es un espacio de Hilbert y, por simetría conjugada del producto interno, $$ \overline{\langle f,g\rangle}=\langle g,f\rangle $$ donde $g(z)=1$ es la función identidad.
¿Es cierto en otros casos aparte de estos dos?
¿Es cierto en $L^1$?
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En español, manteniendo las mismas etiquetas HTML si existen: en realidad depende del dominio ej. $\int_{\mathbb{R}}g(x)^{2}dx=\infty$, entonces $g(x)\notin L^{2}[\mathbb{R}]$.