¿La conjugada compleja de una integral es igual a la integral de la conjugada?

Question

Sea $f$ una función de valor complejo de una variable compleja. ¿Se cumple que $$\overline{\int f(z) dz} = \int \overline{f(z)}dz \text{ ?}$$

Si $f$ es una función de variable real, la respuesta es sí ya que $$\int f(t) dt = \int \text{Re}(f(t))dt + i\text{Im}(f(t))dt.$$

Si $f$ es una función de valor complejo de una variable compleja y pertenece a $L^2$, la respuesta también es sí ya que $L^2$ es un espacio de Hilbert y, por simetría conjugada del producto interno, $$\overline{\langle f,g\rangle}=\langle g,f\rangle$$ donde $g(z)=1$ es la función identidad.

¿Es cierto en otros casos aparte de estos dos?
¿Es cierto en $L^1$?

Answer 1

Si $\int dz$ denota una integral de contorno, entonces la respuesta es generalmente no. Una fórmula correcta es la siguiente:

$$\overline{\int f(z) \; dz} = \int \overline{f(z)} \; \overline{dz}.$$

De hecho, sea $\gamma : I \to \Bbb{C}$ una curva agradable que parametriza el contorno $C$, entonces

$$\overline{\int_C f(z) \; dz} = \overline{\int_I f(\gamma(t)) \gamma'(t) \; dt} = \int_I \overline{f(\gamma(t)) \gamma'(t)} \; dt= \int_C \overline{f(z)} \; \overline{dz}.$$

Answer 2

En general, la respuesta es "no", porque $$\overline{ \int f(z) dz} = \overline{\int \left( \text{Re}f(z) + i\text{Im}f(z)\right)dz}=\\ \int \overline{ \left( \text{Re}f(z) + i\text{Im}f(z)\right)(dx+i dy)}=\int\overline{{\left(\text{Re}f(z)dx - \text{Im}f(z)dy\right)+ i(\text{Re}f(z)dy+\text{Im}f(z)dx)}}=\\ \int{\left(\text{Re}f(z)dx - \text{Im}f(z)dy\right)}-i \cdot\int{\left(\text{Re}f(z)dy+\text{Im}f(z)dx\right)}$$

Answer 3

Otra variación: sea $\overline{\gamma}(t) = \overline{\gamma(t)}, t\in[a,b]$. Entonces, $$\overline{\int_{\gamma}f(z)\,dz} = \overline{\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt} = \int_a^b\overline{f(\gamma(t))}\,\overline{\gamma'(t)}\,dt = \int_a^b\overline{f(\overline{\overline{\gamma}(t)})}\,\overline{\gamma}'(t)\,dt = \int_{\overline{\gamma}}\overline{f(\overline{z})}\,dz.$$

Answer 4

Sangchul Lee proporciona una buena respuesta para el cálculo explícito de $$\overline{\int\limits_{\gamma} f(\xi) \; d\xi}.$$

Un ejemplo sencillo que demuestra que, en general, $$\overline{\int\limits_{\gamma} f(\xi) \; d\xi} \neq \int\limits_{\gamma} \overline{f(\xi)} \; d\xi$$ es el siguiente:

Sea $\gamma$ la curva que una vez rodea el círculo unitario, entonces es claro desde el análisis complejo elemental que $$\overline{\int\limits_{\gamma} \xi \; d\xi} = 0;$$ mientras que, $$\int\limits_{\gamma} \overline{\xi} \; d\xi = 2\pi i.$$