¿Cómo transformar un conjunto de vectores 3D en un plano 2D, desde un punto de vista de otro vector 3D?

Question

Busqué en Google un poco, pero normalmente encontré explicaciones demasiado técnicas, u otras preguntas más específicas de Stackoverflow sobre el funcionamiento de los gráficos 3D. Estoy seguro de que puedo encontrar suficientes recursos para esto eventualmente, pero me imaginé que es buen material para este sitio...

Digamos que tengo un espacio tridimensional, con coordenadas x, y y z. Entonces, tengo un conjunto de vectores (vértices en los gráficos por ordenador, supongo) en ese espacio (pueden estar formando un cubo, por ejemplo).

¿Cómo hago para transformarlos para que se rendericen en un plano 2D (pantalla)? Necesito obtener las coordenadas x e y de los vectores 2D, pero, deben depender de un punto específico en el espacio - la cámara. Cuando muevo la cámara, los valores x e y deben cambiar.

Supongo que el proceso será algo así:

1. Traduzca los vectores 3D de acuerdo con la x, y y z de la cámara.
2. Gira los vectores 3D de acuerdo a los theta y phi de la cámara (necesitaré muchas conversiones del sistema de coordenadas polares y del sistema de coordenadas polares para esto, pero el pecado y el cos no son caros, ¿verdad?)
3. x = x/z, y = y/z, para la transformación en 2D, creo, no estoy seguro de esta parte en absoluto, creo que la vi en alguna parte.
4. Escala todos los vectores de acuerdo con la distancia de la cámara a la escena (o algo más?)
5. Renderizar.

Hice una lluvia de ideas sobre la marcha, probablemente hay una tonelada de soluciones mejores. También, por favor, trata de mantener las matemáticas simples, ya que sólo conozco la regla básica de trigonometría y calculo hasta la regla de la cadena, no estoy seguro de lo que la gente está usando realmente para esto. Escuché algo sobre "matrices de rotación", ¿qué son exactamente? (Bueno, estoy a punto de buscarlas en Google, pero no me hará daño obtener una respuesta aquí también.) Además, ¿cuáles son las direcciones estándar para el espacio xyz? (¿Es z "arriba"?)

Answer 1

Puede haber muchas formas de transferir el mundo 3d al plano 2d . Creo que la básica es la proyección planar que mostré en la imagen. Hice los pasos para los principiantes y evité las matemáticas altas para la comprensión clara. Creo que la rotación es el siguiente paso después de entender todos los puntos de cómo transferir un punto de 3D a 2D.

Me gustaría ofrecer que las matemáticas en esta conversión. Como se puede ver en la figura que desea encontrar m y n valores para la pantalla como entero.

1- Definir el punto superior izquierdo de la pantalla en el plano. $S_1 (x_1, y_1 , z_1)$

2- Definir el punto superior derecho de la pantalla en el plano. $S_2 (x_2, y_2 , z_2)$ . La anchura de la pantalla debe satisfacer $W=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ .puede seleccionar $z_1=z_2$ para la vista recta así $W$ puede ser $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .

3- Definir el punto inferior izquierdo de la pantalla en el plano. $S_3 (x_3, y_3 , z_3)$ . La altura de la pantalla debe satisfacer $H=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2}$ y también sabemos que el rectángulo de la pantalla. debe satisfacer $\vec{S_1S_2} . \vec{S_1S_3} =0 $ ----> $(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)+(z_2-z_1)(z_3-z_1)=0 $ Nota: Si queremos la vista recta, podemos seleccionarla $x_1=x_3$ y $y_1=y_3$ así $H$ será $z_1-z_3$

4- Encuentra el punto medio de la pantalla $ M (x_0,y_0,z_0)= (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2},\frac{z_2+z_3}{2})$

5- Definir a qué distancia estará la cámara de la pantalla. $(h)$

6-Encuentra el punto de la cámara: $C(x_c,y_c,z_c)$ hay que encontrar la ecuación del plano : $ax+by+cz=1$ tres puntos es suficiente para definir un plano. Así,

-Punto de Venta $S_1$ : $a x_1+by_1+cz_1=1$

-Punto de Venta $S_2$ : $a x_2+by_2+cz_3=1$

-Punto de Venta $M$ : $a x_0+by_0+cz_0=1$

Resolver $a,b,c$ y encontrar el vector de normalización que forma un ángulo recto con el plano $N= (a_n, b_n ,c_n)= ( \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$

$C(x_c,y_c,z_c) = (x_0+ha_n,y_0+hb_n,z_0+hc_n)$

7-Encontrar $A'$ esa proyección del punto $A$ en el plano de la pantalla.

-Definir la línea entre el punto $C(x_c,y_c,z_c)$ y señalar $A(x_a,y_a,z_a)$ :

$\frac{x-x_a}{x_c-x_a}=\frac{y-y_a}{y_c-y_a}=\frac{z-z_a}{z_c-z_a}=k$

y poner $x$ , $y$ , $z$ en la ecuación del plano ( $ax+by+cz=1$ ) y obtener una ecuación depende de $k$ y luego resolver $k$ Puedes conseguir $A'(x'_a,y'_a,z'_a)$ de $\frac{x-x_a}{x_c-x_a}=\frac{y-y_a}{y_c-y_a}=\frac{z-z_a}{z_c-z_a}=k$ después de resolver $k$ .

8-Para encontrar los ángulos de la pantalla:

$\cos u=\frac{\vec{S_1S_2} . \vec{S_1A'}}{|\vec{S_1S_2}||\vec{S_1A'}|}=\frac{(x_2-x_1)(x'_a-x_1)+(y_2-y_1)(y'_a-y_1)+(z_2-z_1)(z'_a-z_1)}{W\sqrt{(x'_a-x_1)^2+(y'_a-y_1)^2+(z'_a-z_1)^2}}$ .

$\cos v=\frac{\vec{S_1S_3} . \vec{S_1A'}}{|\vec{S_1S_3}||\vec{S_1A'}|}=\frac{(x_3-x_1)(x'_a-x_1)+(y_3-y_1)(y'_a-y_1)+(z_3-z_1)(z'_a-z_1)}{H\sqrt{(x'_a-x_1)^2+(y'_a-y_1)^2+(z'_a-z_1)^2}}$ .

9-Decisión de si está en pantalla o no: Si $\cos u >0 $ y $\cos v >0 $ entonces $A'$ está en pantalla. En caso contrario, el punto $A'$ está fuera de la pantalla y no podemos dibujar $A'$ en pantalla 2D.

10- Encuentra $m$ , $n$ Si $\cos u >0 $ y $\cos v >0 $

$m= \sqrt{(x'_a-x_1)^2+(y'_a-y_1)^2+(z'_a-z_1)^2} \cos u $

$n= \sqrt{(x'_a-x_1)^2+(y'_a-y_1)^2+(z'_a-z_1)^2} \sin u $

Necesitamos enteros si es así debemos ignorar después del punto para $m$ y $n$ para obtener valores enteros.

Asegúrese de que si $m>W$ y $n>H$ entonces no podemos dibujar el punto en la pantalla.

Ejemplo:

1: $S_1 (400, 400 ,400)$

2: si el ancho de nuestra pantalla es de 800 píxeles $S_2 (880, 1040 , 400)$ $z_1=z_2$ para la vista recta así $W=\sqrt{(880-400)^2+(1040-400)^2}=800$

3: $S_3 (400, 400 ,-200)$ así $H=600$

4: $M (x_0,y_0,z_0)=(640,720,100)$

5: Definir a qué distancia estará la cámara de la pantalla. Seleccioné $h=50$ . si h es más pequeño se puede ver más área en la pantalla. Se puede cambiar en el software como parámetro para obtener la mejor vista para la pantalla.

6:Encuentra el punto de la cámara: $C(x_c,y_c,z_c)$ hay que encontrar la ecuación del plano : $ax+by+cz=1$

$400a+400b+400c=1$

$880a+1040b+400c=1$

$640a+720b+100c=1$

aquí solución que wolfram ayudó:

$a=\frac{1}{100}$

$b=-\frac{3}{400}$

$c=0$

Así, la ecuación del plano de la pantalla es $\frac{1}{100}x-\frac{3}{400}y=1$

$4x-3y=400$

$N= (a_n, b_n ,c_n)= (\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0)$

$C(x_c,y_c,z_c)=(640+50.\frac{4}{5},720- 50\frac{3}{5},100 )=(680,690,100)$

7-Encontrar $A'$ esa proyección del punto $A$ en el plano de la pantalla. $A$ dado $(0,400,400)$

$\frac{x}{680}=\frac{y-400}{690-400}=\frac{z-400}{100-400}=k$

$4x-3y=400$

$4(680k)-3(290k+400)=400$

$k=\frac{32}{37}$

$x=680k=680\frac{32}{37}=\frac{21760}{37}= \approx 588,10$

$y=290k+400=290\frac{32}{37}+400=\frac{24080}{37} \approx 650,81$

$z=-300k+400=-300\frac{32}{37}+400=\frac{5200}{37} \approx 140,54$

8- $ \cos u=\frac{\vec{S_1S_2} . \vec{S_1A'}}{|\vec{S_1S_2}||\vec{S_1A'}|}=\frac{480.188,10+640.250,81 }{800. 406,948}\approx 0,77038$

$\cos v=\frac{\vec{S_1S_3} . \vec{S_1A'}}{|\vec{S_1S_3}||\vec{S_1A'}|}=\frac{(-259,46).(-600) }{600. 406,948}\approx 0,6375$

9- $\cos u >0 $ y $\cos v >0 $ Así, el punto está en el lado de la pantalla. $ \cos u\approx 0,77038$ $\sin u \approx 0,63758 $

10- $0,77038.406,948=313,50$ -----> $ m = 314$

$0,63758.406,948=259.46$ -----> $ n= 259$

$m<800$ y $ n<600$ Así podemos dibujar el punto en la pantalla. $m$ y $n$ se seleccionan enteros porque necesitamos encontrar los valores de los píxeles de la pantalla.

El ejemplo es para demostrar la transferencia de un solo punto de 3D a 2D. Espero que le dé un punto de partida para utilizar las herramientas de geometría analítica 3D para su propósito.

Answer 2

Asistí al ciclo de conferencias del profesor Neil Dodgson en la Universidad de Cambridge, donde expuso una serie de manipulaciones matriciales que, combinadas, dan el resultado que usted pide . Desde su Notas de la conferencia de 1998 :