Esta pregunta me inspiró para intentar escribir una introducción conceptual en el artículo de la wikipedia. Para ahorrarle la molestia de hacer clic, he copiado a continuación. (Es un poco inspirado por qué @Kostia escribió aquí)
Motivar ejemplo: la Posición de operador de elementos de la matriz de 4d→2s transición
Supongamos que queremos calcular momentos de dipolo de transición de un electrón a la transición desde un 4d a un orbital 2p del átomo de hidrógeno, es decir, los elementos de la matriz de la forma $\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$, donde ri es la x, y, o z componente de la posición del operador, y m1, m2 son los números cuánticos magnéticos que distinguir entre los diferentes orbitales dentro de la 2p o 4d subshell. Si hacemos esto de manera directa, implica el cálculo de 45 diferentes integrales: Existen tres posibilidades para m1 (-1, 0, 1), cinco posibilidades para m2 (-2, -1, 0, 1, 2), y tres posibilidades para que yo, así que el total es de 3×5×3=45.
El Wigner–Eckart teorema permite obtener la misma información después de evaluar sólo uno de esos 45 integrales (cualquiera de ellos puede ser utilizado, siempre es distinto de cero). A continuación, el otro 44 integrales puede deducir sólo el uso de álgebra, con la ayuda de Clebsch–Gordan coeficientes, los cuales pueden ser consultados fácilmente en una mesa, o se calcula a mano o a ordenador.
Cualitativa resumen de la prueba
El Wigner–Eckart teorema de las obras debido a los 45 de estos diferentes cálculos están relacionados unos con otros por las rotaciones. Si un electrón se encuentra en uno de los orbitales 2p, rotando el sistema en general se mueven en un diferente orbital 2p (por lo general, va de viento en una superposición cuántica de los tres base de los estados, m=+1,0,-1). Del mismo modo, si un electrón se encuentra en uno de los orbitales 4d, rotando el sistema se moverá en otro orbital 4d. Finalmente, un análogo de la declaración es verdadera para la posición del operador: Cuando el sistema se gira, los tres componentes diferentes de la posición del operador que efectivamente son intercambiados o mixto.
Si empezamos por conocer uno de los 45 valores-es decir, sabemos que $\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle = K$-y, a continuación, girar el sistema, podemos inferir que K es también el elemento de la matriz entre la versión rotada de $\langle 2p,m_1 |$, la versión rotada de $r_i$, y la versión rotada de $| 4d,m_2 \rangle$. Esto da una relación algebraica que implican K y todos o algunos de los 44 desconocido elementos de la matriz. Diferentes rotaciones del sistema conducen a diferentes relaciones algebraicas, y resulta que hay suficiente información para averiguar todos los elementos de la matriz de esta manera.
(En la práctica, cuando se trabaja a través de esta matemática, se suelen aplicar los operadores de momento angular a los estados, en lugar de girar a la de los estados. Pero esto es fundamentalmente la misma cosa, a causa de la matemática de la relación entre la rotación y el momento angular de los operadores.)
En términos de la teoría de la representación
Para el estado de estas observaciones, más precisamente, y para demostrar que ellos, ayuda a invocar las matemáticas de la teoría de la representación. Por ejemplo, el conjunto de todas las posibles orbitales 4d (es decir, los cinco estados de m=-2,-1,0,1,2 y sus superposiciones cuánticas) forman una de las 5 dimensiones abstracta de espacio vectorial. Girar el sistema se transforma esos estados en cada uno de los otros, por lo que este es un ejemplo de un grupo de la "representación"-en este caso, el de 5 dimensiones irreductibles de la representación ("irrep") de la rotación del grupo SU(2) o SO(3), también llamado el "spin-2 representación". Del mismo modo, el 2p estados cuánticos formulario 3-dimensional irrep (llamado "spin-1"), y las componentes de la posición del operador también se forman las 3 dimensiones de la "spin-1" irrep.
Ahora considere los elementos de la matriz $\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$. Resulta que estos son transformados por las rotaciones según el producto directo de los tres representaciones, es decir, el spin-1 representación de los orbitales 2p, el spin-1 representación de las componentes de r, y el spin-2 representación de los orbitales 4d. Este producto directo, un 45 dimensiones de la representación de SU(2), es no un irreductible de la representación-en su lugar es la suma directa de un spin-4 representación, dos spin-3 representaciones, tres spin-2 representaciones, dos spin-1 representaciones, y un spin-0 (es decir, trivial) de la representación. El distinto de cero de la matriz de elementos sólo puede venir de la spin-0 subespacio. El Wigner–Eckart teorema de obras debido a que el producto directo de la descomposición contiene sólo uno de los spin-0 subespacio, lo que implica que todos los elementos de la matriz son determinados por un único factor de escala.
Aparte de la general, el factor de escala, el cálculo del elemento de la matriz $\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$ es equivalente a calcular la proyección de la correspondiente abstracto vector (en 45 dimensiones del espacio) en el spin-0 subespacio. Los resultados de este cálculo son los Clebsch–Gordan coeficientes.
