3 nunca se divide $n^2+1$

Question

Problema: ¿Es cierto que 3 no divide a $n^2+1$ para todo n entero positivo? Explicar.

Explicación: Si n es impar, entonces $n^2+1$ es incluso. Por lo tanto, 3 no divide a $n^2+1$, cuando n es impar.

Si n es par, es impar $n^2+1$. 3 podría dividir $n^2+1$.

Y es que estoy atrapado. Intento conectar números n pero quiero una forma más general de mostrar que 3 no divide a $n^2+1$ cuando n es uniforme.

Answer 1

De otra manera: $ $ aviso que $\,3\,$ se divide una de $\ \color{#0a0}{n\!-\!1,\,n,\,n\!+\!1}.\ $ por lo Tanto

$\ \ \ \color{#c00}{3\mid n^2\!+1}\Rightarrow\ 3\mid 2 = (\color{#c00}{n^2\!+1})(2\!-\!n^2)+\color{#0a0}{(n\!-\!1)n^2(n\!+\!1)},\ $ contradicción.

Comentario $\ $ lo anterior implica coprime $\,n^2\!+1\,$$\,n^3\!-n = (n\!-\!1)n(n\!+\!1),\,$, excepto cuando se $\,n\,$ es impar, cuando se tiene mcd $= 2.\,$ por encima de La relación lineal entre ellos es simplemente la identidad de Bezout para su mcd, considerado como un polinomio sobre $\Bbb Q$ (la cual puede ser calculada de forma mecánica utilizando el algoritmo de Euclides extendido). Aunque este enfoque no es tan eficaz como el uso de la aritmética modular, se destaca un interesante punto de vista que a menudo resulta útil: a menudo, las propiedades de los números enteros (números) son casos especiales de las propiedades de los polinomios (funciones).

Answer 2

Consejo: ¿Cuáles son las plazas sólo modulo $3$? Dicho de otro modo, mirar el % de expresión $n^{2}+1$modulo $3$. ¿Lo que es cierto de $n^{2} \pmod 3$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$?

Answer 3

Si divide a $3$ $n^2+1$ debe tener solución modulo $3$. Pero claramente

$0^2+1\equiv 1 \pmod 3$

$1^2+1 \equiv 2 \pmod 3$

$2^2+1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod 3$

De lo contrario poner $n=3k,3k+1,3k+2$ y ver que $3$ nunca lo divide

Answer 4

$n= 0 \pmod3 \implies n^2 + 1 = 1\pmod3$,

$n = 1\pmod3 \implies n^2 + 1 = 2\pmod3$,

$n = 2\pmod3 \implies n^2 + 1 = 2\pmod3$.

Así $n^2 + 1$ no es un múltiplo de $3$ para cualquier $n$.