¿Cuál sería la manera de resolver un sistema de ecuaciones como esta?

Question

Resolver:

$xy=-30$
$x+y=13$

{15, -2} es una solución particular, pero, ¿cómo sé si es la única solución, o lo que sería la manera de solucionar esto sin "adivinación"?

Answer 1

Tenemos en general % $ $$(x+y)^2-4xy=(x-y)^2.$en nuestro caso que da $(x-y)^2=289$, que $x-y=\pm 17$.

Ahora resolver el sistema $x+y=13$, $x-y=17$ y el $x+y=13$, $x-y=-17$ del sistema %.

Comentario: Este procedimiento para encontrar el $x$ y $y$ dada su suma y el producto vuelve a veces neobabilónico. (Por supuesto, no se utilizó la notación algebraica, pero enseñaron un algoritmo equivalente.)

Answer 2

Comenzar con $$ x + y = 13 \iff y = tan x 13 $$ ese $$ -30 = xy = x (13-x) = 13 x-x ^ \iff 2 x ^ 2-13 x-30_=_0 $$ que resuelve dar $x=-2$ y $x=15$. Son de los valores correspondientes de $y$ $15$ y $-2$.

Answer 3

$$xy=-30$$ $$x+y=13$$

de la segunda ecuación $y=13-x$ ponerlos en primer lugar obtenemos $$x(13-x)=-30$ $ #% $ $$x^2-13x-30=0$ $ $$x_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{189}}{2}=\frac{13\pm17}{2}$ $ $$x_1=\frac{13+17}{2}=15,x_2=\frac{13-17}{2}=-2$% la #% $ por lo que las soluciones son $$y_1=13-15=-2,y_2=13-(-2)=15$ y $(15,-2)$

Answer 4

Las otras respuestas que aquí se muestran las estrategias de:

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$1$) Sustitución (el más general). Ver Kim Jong un de la respuesta a esta pregunta.

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$2)$ Resolver una ecuación cuadrática que tiene las raíces $x,y$ (esto utiliza la Vieta de fórmulas). Ver Sami Ben Romdhane la respuesta.

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$3)$ Usando el hecho de que $(x+y)^2-4xy=(x-y)^2$ a tiene el valor numérico de $x-y$. A continuación,$(x+y)-(x-y)=2y$, una manera fácil de obtener el valor de $y$. Ver André Nicolás respuesta.

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Voy a postear otro método que funciona muy bien para este problema en particular.

Agregar las ecuaciones en una forma específica para obtener:$$\begin{align}xy+2(x+y)&=-30+2\cdot 13=-4\\\iff (x+2)(y+2)&=0\end{align}$$

Por lo tanto, $x=-2$ o $y=-2$, que dan las soluciones $(-2,15)$$(15,-2)$, respectivamente.