Imaginar una colección infinita de anidado, esferas concéntricas, de radio 1, $\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, y así sucesivamente. Supongamos que de alguna manera están suspendidos en el espacio, fija en su
centro común a $x$. A continuación, la parte más externa de la esfera es "liberado" a partir de su centro, y se cae
verticalmente bajo la influencia de la gravedad, mientras que todas las otras esferas permanecen "clavado"
con sus centros en $x$. Siguiente, la parte superior del interior de la $r=1$ esfera choca con la parte superior exterior de la $r=\frac{1}{2}$
esfera, golpeándolo suelta de $x$ a través de una perfectamente colisión elástica, el envío
a la baja. Y así sucesivamente.
Básicamente mi pregunta es: ¿Qué sucede? Sería agradable para entender
el comportamiento de este sistema sin tener que recurrir al cálculo explícito de
todas las interacciones. Asumir las esferas son algunas de las homogénea, fina
el material de modo que su peso es proporcional a su superficie
(o circunferencia si prefieres bajar a $\mathbb{R}^2$).
No puedo ver intuitivamente la secuencia de colisiones y de comportamiento en general,
y todavía no he probado cálculos cuidadosos. Tal vez hay una línea de
de razonamiento que desmitifican la aparente complejidad...?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No creo que el sistema está bien especificado. Considere la siguiente variante más simple sobre el mismo tema:
Infinitamente muchos ideales, idéntico bolas de billar ocupar un 1D mundo. La inicial de la distancia entre los sucesivos bolas (excepto el diámetro de las bolas de sí mismos) es de 1, 1/2, 1/4, 1/8 y así sucesivamente.
En el tiempo t=0, se dará la primera bola de empuje, de modo que comienza a moverse con una velocidad de 1 hacia el infinito línea de bolas. Una cascada de colisiones ocurren, cada transferir el 100% de la energía y el impulso de la pelota de uno a la siguiente. Por el momento 2, infinitamente muchos accidentes han ocurrido, y de que todas las pelotas son ahora en reposo y nunca se mueven de nuevo! Usted puede escribir ecuaciones paramétricas para la posición de cada bola en cualquier momento, y ver que a nivel local las reglas ideal para las bolas de billar son satisfechos en todo momento. Pero de alguna manera la energía y el impulso que hemos puesto en el sistema ha desaparecido.
Aún más preocupante, el estándar de billar bola reglas son simétrica. Para que podamos ejecutar el experimento al revés -- si tenemos una línea infinita de bolas sentado, todo en reposo, es completamente de acuerdo con las reglas si espontáneamente iniciar una infinita cascada de colisiones que termina con la bola de 0 siendo expulsado en algunos impredecibles velocidad, en un momento impredecible en el tiempo.
No está claro que el sistema de las esferas tiene un modo de fallo que tan dramático como este. El hecho de que la masa total es finito puede posiblemente prevenir cualquier impulso travesuras. Pero de acuerdo a la mecánica estadística que uno debería esperar que la energía finalmente se escurra en micro-vibraciones de pequeñas esferas que se intenta distribuir uniformemente sobre todos los grados de libertad. Y las reglas son todavía tiempo simétrico, por lo que hay probablemente válido historias donde la energía surge de forma espontánea y termina afectando las conchas más grandes.
He trabajado los detalles para el 2D círculos caso, donde la masa de anillo de $i$ es el doble de la masa del anillo de $i+1$ (porque el último es la mitad del radio).
Cuando el anillo de $i$, viajando a la velocidad de $v_i$, choca con anilla estacionaria $i+1$,
sus velocidades después de la colisión se $v'_i= \frac{1}{3} v_i$$v'_{i+1}= \frac{4}{3} v_i$, una simple consecuencia de la conservación del momento y la energía.†
(Esto por cierto corrige algunos errores de cálculo en las respuestas originales.)
Debido a $v_{i+1}$ luego aumenta un poco en aceleración, sabemos que $v_k$ crece al menos como
rápido como $\left( \frac{4}{3} \right)^k$.
Por lo tanto, si he calculado correctamente, suponiendo una de 1 metro de radio anillo exterior, tomaría menos de 64 anidada anillos para llegar a la velocidad de la luz. :-) Lo que significa que, respondiendo a mi pregunta original ("¿Qué pasa?") requiere un análisis que incorpora las leyes de la relatividad especial.
† Sólo para que conste, aquí es la derivación de las velocidades justo antes y justo después de una colisión. Vamos a la $i$-ésimo anillo tienen masa $m$, y así el $(i+1)$-st anillo tiene una masa de $\frac{1}{2}m$. La conservación del momento: $$ m v_i + \frac{1}{2} m v_{i+1} = m v'_i + \frac{1}{2} m v'_{i+1} \;. $$ Debido a $v_{i+1} = 0$, esto se reduce a: $v_i=v'_i+\frac{1}{2} v'_{i+1}$. La conservación de la (cinética) en energía: $$ \frac{1}{2} m v_i^2 + \frac{1}{4} m v_{i+1}^2 = \frac{1}{2} m (v'_i)^2 + \frac{1}{4} m (v'_{i+1})^2 \;, $$ lo que se reduce a $v_i^2 = (v'_i)^2 + \frac{1}{2} (v'_{i+1})^2$. Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente da $v'_i = \frac{1}{3} v_i$ y $v'_{i+1} = \frac{4}{3} v_i$.
Hacer muchos extremadamente realista supuestos: Después de una colisión, la segunda esfera se mueve 4 veces más rápido que la primera (1/4 de la masa) y la distancia entre ésta y la próxima esfera wil ser reducido a la mitad, por lo tanto el tiempo entre cada consecutivos de colisión será un octavo del tiempo para la previa de la colisión. Ambas esferas se puede sentir la gravedad, una vez liberado, ambos se precipitan hacia abajo a la misma velocidad, por lo que las velocidades relativas será el mismo como si no hubiera gravedad y la primera esfera se partió a una velocidad inicial x m/s. $\sum_0^\infty 1/(8^{n})=1/9 $ , por lo que se llevará a r/9 segundos para el choque para llegar al centro (r es el radio de la primera esfera), y el 'centro' de ahora habrá una distancia r/2 desde la parte superior por lo que tomará 2r/9 segundos para el exterior de la esfera para ser golpeado de nuevo. Ahora que el "centro" va a ser de 1/4 de la distancia desde la parte inferior. Así que primero toma r/3 segundos entre el momento en que el exterior de la esfera es de éxito, y después de que el intervalo entre el momento en que el exterior de la esfera es de golpe son 4r/9 segundos. Además, las esferas se acelera constantemente hacia abajo.
