Cómo es $\mathrm{PGL}(V)$ a un subgrupo de $\mathrm{P\Gamma L}(V)$?

Question

Me he tropezado con un extraño ejercicio, mientras que la lectura de "Notas sobre el Infinito de Permutación de Grupos" por Bhattacharjee, Möller, Macpherson y Neumann. Si usted tiene el libro, el ejercicio es de 7(ix) en la página 66.

Permítanme comenzar con las definiciones. Deje $F$ ser un campo arbitrario, y $V$ un finito-dimensional espacio vectorial sobre $F$.

Definición 1. Una transformación lineal en $V$ es un mapeo $\varphi :\ V \to V$ tal que $$ (\lambda x +\mu y)\varphi = \lambda (x \varphi) + \mu (y \varphi) $$ para todos los $\lambda, \mu \in F$ y todos los $x, y \in V$. Tenga en cuenta que podemos utilizar la notación adecuada para las acciones correctas aquí, es decir, podemos escribir la $x \varphi$ en lugar de la que probablemente sea la más habitual $\varphi(x)$. También, la composición de transformaciones se define en consecuencia, es decir,$x(\varphi \circ \psi) = (x \varphi)\psi$.

El grupo lineal general $\mathrm{GL}(V)$ se compone de todos los invertible transformaciones lineales en $V$. Tomando el cociente por el centro, se obtiene el proyectiva lineal grupo $\mathrm{PGL}(V) = \mathrm{GL}(V) / Z(\mathrm{GL}(V))$.

Definición 2. Un semilinear transformación en $V$ es un mapeo $\varphi :\ V \to V$ tal que existe una automorphism $\sigma$$F$, por lo que $$ (\lambda x +\mu y)\varphi = (\lambda^\sigma) (x \varphi) + (\mu^\sigma) (y \varphi) $$ para todos los $\lambda, \mu \in F$ y todos los $x, y \in V$.

No en vano, la semilinear grupo $\mathrm{\Gamma L}(V)$ se compone de todos los invertible semilinear transformaciones en $V$, y su cociente por el centro de la proyectiva semilinear grupo $\mathrm{P\Gamma L}(V) = \mathrm{\Gamma L}(V) / Z(\mathrm{\Gamma L}(V))$.

Aquí es el ejercicio que me da problemas:

Muestran que el grupo de $\mathrm{GL}(V)$ es normal en $\mathrm{\Gamma L}(V)$, $\mathrm{PGL}(V)$ es normal en $\mathrm{P\Gamma L}(V)$.

El trabajo realizado. No tengo ningún problema demostrando que $\mathrm{GL}(V) \lhd \mathrm{\Gamma L}(V)$, se sigue directamente de las definiciones anteriores. Pero estoy confundido por la segunda parte de la pregunta, el uno sobre proyectiva grupos.

Esto es lo que no entiendo: ¿cómo puede $\mathrm{PGL}(V)$ ser un subgrupo normal de $\mathrm{P\Gamma L}(V)$ si no es su subgrupo en el primer lugar? No veo una forma natural de construir una inyección de$\mathrm{PGL}(V)$$\mathrm{P\Gamma L}(V)$.

Sería fácil si esta inclusión fueron verdaderas: $Z(\mathrm{GL}(V)) \leq Z(\mathrm{\Gamma L}(V))$. A continuación, me gustaría construir fácilmente un mapa de $\alpha: \mathrm{PGL}(V) \to \mathrm{P\Gamma L}(V)$ que haría el diagrama conmuta: $$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} \mathrm{GL}(V) & \ra{i} & \mathrm{\Gamma L}(V) \\ \da{ } & & \da{ } \\ \mathrm{PGL}(V) & \ra{\alpha} & \mathrm{P \Gamma L}(V) \end{array} $$ donde $i$ es la inclusión y flechas verticales son de factorización.

El problema es, $Z(\mathrm{GL}(V)) \not\leq Z(\mathrm{\Gamma L}(V))$ en el caso general. Para ver esto, vamos a $V=F$ ser un espacio tridimensional. Deje $\sigma$ ser un no-trivial automorphism del campo $F$. Tenga en cuenta que $\sigma$ es automáticamente un semilinear transformación de $V$.

Ahora tome $\varphi:\ V \to V$ a ser la multiplicación por $\lambda \in F$ donde $\lambda^\sigma \neq \lambda$. A continuación, $\varphi$ conmuta con cada transformación lineal en $V$, pero no conmuta con el semilinear $\sigma$. Por lo $\varphi$ pertenece a $Z(\mathrm{GL}(V))$, pero no a $Z(\mathrm{\Gamma L}(V))$.

Es mi enfoque ingenuo? ¿Dónde debe el mapa de $\mathrm{PGL}(V) \to \mathrm{P\Gamma L}(V)$?

Answer 1

La definición dada de $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ no es el habitual: Típicamente $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ es que no se define como $\operatorname{\Gamma L}(V)/Z(\operatorname{\Gamma L}(V))$, pero como el cociente del grupo de $\operatorname{\Gamma L}(V)/Z(\operatorname{GL}(V))$. Ahora está claro que $\operatorname{PGL}(V)$ es un subgrupo de $\operatorname{P\Gamma L}(V)$.

El poco sutil punto es que el centro de $Z(\operatorname{\Gamma L}(V))$ no es el mismo como el centro de la $Z(\operatorname{GL}(V))$. El segundo de ellos está dado por todos diagonal mapas de $v\mapsto \lambda v$$\lambda\in F^\times$. Sin embargo, para el centro de la $\operatorname{\Gamma L}(V)$ obtenemos la condición adicional de que $\sigma(\lambda) = \lambda$ para todos los automorfismos $\sigma\in\operatorname{Aut}(F)$. Por lo $Z(\operatorname{\Gamma L}(V))$ sólo consta de escalares por matrices cuya diagonal de la entrada se encuentra en el grupo de la unidad del primer campo de $F$.

Dada la forma en cómo $\operatorname{PGL}(V)$ se define ("grupo de mod y fuera de su centro"), la definición de $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ puede venir como una sorpresa. La motivación para este ligeramente inesperado de la definición es la siguiente:

La acción natural de la $\operatorname{\Gamma L}(V)$ $V$ induce una acción en el subespacio de celosía de $V$. Sin embargo, esta acción no es fiel. El núcleo de la acción está dado por $Z(\operatorname{GL}(V))$. Modding a cabo el kernel, llegamos al grupo de $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ que actúa fielmente en el subespacio de celosía de $V$. Ahora, por el teorema fundamental de la geometría proyectiva, de la manera definida por el grupo $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ es, precisamente, el automorphism grupo de la subespacio de celosía de $V$.

Conclusión

La forma correcta de mirar la transición de los grupos $\operatorname{GL}(V)$ $\operatorname{\Gamma L}(V)$ a la proyectiva variantes $\operatorname{PGL}(V)$ $\operatorname{P\Gamma L}(V)$ es: ver la acción natural de la geometría proyectiva (también conocido como el subespacio de celosía de $V$) un mod el kernel. Esto también se refleja en la letra "P" para proyectiva en la nomenclatura de los grupos.