Deje $\phi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ ser convexo, adecuada e inferior semi-continuo (lsc). Deje $M$ ser un subconjunto medible de $\mathbb R^n$.
Podemos definir un funcional $\Phi \colon L^2(M) \to \mathbb R$ a través de $$ \Phi(v) = \begin{cases} \int_M \Phi(v(x))\,dx & \text{if %#%#%} \\ \infty & \text{otherwise} \end{casos} $$
Es evidente que esta función es de nuevo convexo y adecuada. Que también es de la lsc se muestra en la Desigualdad de Problemas en Mecánica y Aplicaciones: Convexo y Nonconvex Funciones de Energía (Proposición 3.3.1).
Aún más, está demostrado que, sin embargo. Suponga $\Phi(v) \in L^1(M)$. La proposición 3.3.2 dice que las dos sentencias siguientes son equivalentes:
- $f \in L^2(M)$ por cada $\Phi(v) \ge \Phi(u) + \int_M f\cdot(v-u)$
- Tenemos $v \in L^2(M)$ por cada $\phi(v) \ge \phi(u(x)) + f(x)[v-u(x)]$ en casi todas partes en $v \in \mathbb R^n$.
Se menciona al final de la sección correspondiente (es decir, p.113), que este resultado no se cumple para el caso de un funcional $M$ con
$\tilde \Phi$$
con una función de $$ \tilde \Phi(v) = \int_M \tilde \phi(v(x),x)\,dx $ que depende del $\tilde \phi$. Obviamente, funcionales son todavía convexo.
Q: Si $x$ es no negativo y convexo para cada $\tilde \phi(\,\cdot\,,x)$, $x$ es de la lsc., ver, por ejemplo, los Métodos Modernos en el Cálculo de Variaciones: Espacios Lp (Teorema de 6.49). Si estamos, además, asumir por ejemplo,$\tilde \Phi$, $\tilde \phi(x,0) = 0$ es adecuado. No equivalencia de los tres anteriores declaraciones (con un adicional de dependencia en $\tilde \Phi$) también tienen?
