Nuevo tamaño de un rectángulo girado y recortado

Question

Imagine un rectángulo ( x ₁ por y ₁ ) siempre tiene que dibujarse con líneas horizontales y verticales (por lo que no puede tener líneas a 45 grados). Si el rectángulo se gira un ángulo necesita que se dibuje un rectángulo en su interior para que este nuevo rectángulo siga cumpliendo las normas. En el diagrama, el rectángulo negro es el original, el rojo es el rectángulo girado y los verdes son tres opciones posibles (los dos extremos y una que mantiene la relación de aspecto).

¿Cómo puedo calcular (en términos de x ₁ , y ₁ y ):

1. las dimensiones ( x ₂ y y ₂ ) del rectángulo que mantiene la relación de aspecto del original?
2. las dimensiones ( x ₂ y y ₂ ) del rectángulo que tiene la mayor superficie posible dentro de los límites dados?
3. x ₂ para un determinado y ₂ (y viceversa) dentro de un rango válido?

Las respuestas a una sola parte son bienvenidas. He intentado resolverlo yo mismo mirando lo que sé sobre los triángulos resultantes, y no consigo llegar a ninguna parte (hace tiempo que no estudio matemáticas), así que una respuesta a una de estas podría indicarme la dirección correcta.

Answer 1

Digamos que el origen de un sistema de coordenadas está en el centro del rectángulo negro original. Este es el centro de la rotación y también el centro de cada uno de los rectángulos verdes. Consideremos sólo el primer cuadrante (desde el origen hacia arriba y hacia la derecha). Exactamente 1/4 del rectángulo negro y de cada rectángulo verde están en el primer cuadrante. Supongamos además que, como en tu imagen, el ángulo de giro es relativamente pequeño (digamos, inferior a 45°) y en el sentido de las agujas del reloj, y que $y_1<x_1$ .

Sea el vértice del rectángulo negro que está en el primer cuadrante $(a,b)=(\frac{1}{2}x_1,\frac{1}{2}y_1)$ . Llamamos magnitud del ángulo de rotación $\alpha$ ( $0°<\alpha<45°$ ). Las coordenadas del vértice del rectángulo rojo en el primer cuadrante son $(a\cos\alpha+b\sin\alpha,-a\sin\alpha+b\cos\alpha)$ . La pendiente de la parte superior del rectángulo rojo es $-\tan\alpha$ . Una ecuación para el lado superior del rectángulo rojo en el primer cuadrante es $y-(-a\sin\alpha+b\cos\alpha)=-\tan\alpha(x-(a\cos\alpha+b\sin\alpha))$ para $0\le x\le a\cos\alpha+b\sin\alpha$ . Una ecuación simplificada equivalente es $y=\sec\alpha(b-x\sin\alpha)$ . Este lado superior rojo se cruza con el lado superior negro original en $x=b\cot\alpha(\sec\alpha-1)$ .

Así que..:

• para $b\cot\alpha(\sec\alpha-1)\le x\le a$ el vértice del rectángulo verde del primer cuadrante estará en el lado rojo, en $(x,\sec\alpha(b-x\sin\alpha))$ y tendrá área $4x\sec\alpha(b-x\sin\alpha)$ .
• para $0\le x<b\cot\alpha(\sec\alpha-1)$ el vértice del rectángulo verde en el primer cuadrante estará en el lado negro (aquí, estoy asumiendo de su imagen que el rectángulo verde debe estar contenido enteramente dentro del rectángulo negro), en $(x,b)$ y tendrá área $4xb$ .
• suponiendo que el rectángulo verde debe estar contenido en su totalidad dentro del rectángulo negro, $x$ no puede ser superior a $a$ .

Suponiendo el primer caso:

• la superficie máxima es $b^2\csc\alpha\sec\alpha$ cuando $x=\frac{1}{2}b\csc\alpha$ .
• el rectángulo verde tendrá la misma relación de aspecto que el rectángulo negro cuando $x=\frac{ab}{b\cos\alpha+a\sin\alpha}$ (y el área es $\frac{4ab^3}{(b\cos\alpha+a\sin\alpha)^2}$ ).

editar : Al principio olvidé los factores de 4 en el área, al pasar de mi imagen de sólo una cuarta parte de las cosas a los rectángulos enteros. Del mismo modo, tenga en cuenta que mi $x$ - y $y$ -valores son la mitad de su $x_2$ y $y_2$ respectivamente. El área máxima posible para el segundo caso (en el que el vértice se encuentra en $(x,b)$ ) es $4b^2\cot\alpha(\sec\alpha-1)$ que Mathematica parece decirme que no puede ser mayor que el área máxima para el primer caso según mis suposiciones sobre el problema.

Answer 2

La respuesta de Isaac,

el área máxima es b^2*cscα*secα cuando x=0.5*b*cscα = 0.5*b/sinα

parece funcionar para ángulos cercanos a 45 grados. Sin embargo, su rango de validez parece depender de la relación de aspecto. Para una relación de aspecto w/h >> a/b, funciona para una amplia gama de ángulos, pero para una relación de aspecto = 1 sólo funciona a 45 grados.

Parece que dentro del rango válido de esta solución, sólo 2 vértices diagonales del rectángulo interior tocan los lados del rectángulo rotado. Pero en el rango no válido, los cuatro vértices del rectángulo interior tocan un lado apropiado del rectángulo rotado.

Esto se ve fácilmente usando α casi cero (muy poca rotación), entonces sinα se hace casi cero y x se hace muy grande, ciertamente mucho mayor que a. Mientras que la solución correcta será casi del mismo tamaño que el rectángulo ligeramente rotado

He intentado resolverlo con multiplicadores de lagrange y obtengo la misma respuesta. Pero no sé cómo poner una restricción de desigualdad que x<=a.

Me pregunto si esto se puede resolver de forma cerrada con una solución más general que da una solución para cualquier ángulo y cualquier relación de aspecto. O al menos otra solución que funcione donde esta solución falla. Hasta ahora no he tenido éxito.

Agradecería que los expertos en matemáticas me dieran su opinión al respecto.