Tengo una tarea de encontrar los vértices si se dan los puntos medios: $M1(2;1)$, $M2(5;3)$, $M3(3;-4)$. Sé una forma de resolverlo haciendo un sistema de ecuaciones con tres variables.
Mi profesor dice que hay una forma más rápida de usar la línea media de un triángulo, y no puedo encontrar esta forma de resolverlo en Internet. ¿Cómo puedo hacerlo?
Se forma un paralelogramo entre los puntos medios y cada vértice; las longitudes de los lados opuestos son iguales, así que iguala los valores de x y y de los vértices a partir de ahí:
Puedes ver que las "subidas" y "corridas" son las mismas, así que en este ejemplo estamos encontrando visualmente B, la diferencia entre $x_{E}$ y $x_{D}$ es $3$, así que vamos a F: $3-3=0$ lo que da $x_{B}$. Haz lo mismo para el valor de y: $3-1=2$, ve a F; $-4-2=-6$. $$B(0,-6)$$
La ecuación de la matriz que da los puntos medios de los vértices es $$ \begin{bmatrix} \frac12&\frac12&0\\ 0&\frac12&\frac12\\ \frac12&0&\frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\vphantom{\frac12}\\b\vphantom{\frac12}\\c\vphantom{\frac12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{a+b}2\\\frac{b+c}2\\\frac{c+a}2 \end{bmatrix} $$ Invertir la ecuación anterior produce $$ \begin{bmatrix} 1&-1&1\vphantom{\frac12}\\ 1&1&-1\vphantom{\frac12}\\ -1&1&1\vphantom{\frac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a+b}2\\\frac{b+c}2\\\frac{c+a}2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\vphantom{\frac12}\\b\vphantom{\frac12}\\c\vphantom{\frac12} \end{bmatrix} $$ La última ecuación simplemente dice $$ a=\frac{a+b}2+\frac{c+a}2-\frac{b+c}2\\ b=\frac{b+c}2+\frac{a+b}2-\frac{c+a}2\\ c=\frac{b+c}2+\frac{c+a}2-\frac{a+b}2 $$ Esto equivale a reflejar cada punto medio a través del punto medio de la línea que conecta los otros dos puntos medios.
Por un procedimiento de construcción: Dibuja una línea paralela a $M_2 M_3$ pasando por $M_1$ y lo mismo para las otras dos parejas, para encontrar tres puntos de intersección $A_1, A_2, A_3$.
Para traducir esto a vectores: Hay 3 vectores. $ A, B, B-A $. Encuentra sus vectores de posición. Los otros 3 triángulos de vectores dibujados alrededor de ellos están etiquetados de la misma forma entre $A_1, A_2, A_3$ para fijar sus coordenadas con desplazamiento paralelo.
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Si los vectores desde el origen hasta los vértices son $\vec{v}_i, i=1,2,3$, entonces el vector al punto medio del borde opuesto al vértice $\vec{v}_k$ es $\vec{m}_k=\frac12(\vec{v}_i+\vec{v}_j)$ donde $i,j$ son los dos índices distintos de $k$. Así que si $i,j,k$ son $1,2,3$ en algún orden vemos que $$\vec{v}_i=\vec{m}_j+\vec{m}_k-\vec{m}_i.$$ Lo suficientemente rápido, pero no lo que tu profesor estaba hablando.