Si $f: M\to M$ una isometría, es $f$ bijective?

Question

$f: M\to M$ una isometría entre espacios métricos, es $f$ bijective?

$f$ obviamente es inyectiva. He demostrado bijection para $M=\mathbb{R}^n$. Pero no estoy seguro de si es cierto en general métrica espacios.

Answer 1

Deje $M = \mathbb{N}$ heredado la métrica de $\mathbb{R}$. A continuación, el fuction de la $f(x) = x+1$ es una isometría, pero no es surjective. Como Yoni señala en los comentarios, se puede utilizar $(0,\infty)$ en lugar de $\mathbb{N}$ si, por ejemplo, uno quiere conectado a un ejemplo.

Además, se puede hacer algo similar en cualquier espacio infinito con discretos métrica.

Por cierto, cuando $M$ es compacto, cualquier isometría debe ser surjective. Ver la correspondiente pregunta aquí.

Answer 2

Jasons respuestas dar un ejemplo muy bueno, pero hay incluso ejemplos cuando usted tiene mucho más que sólo una métrica. Acaba de dar un ejemplo para espacios de Hilbert. Tomando $\ell^2$ con la norma $$\|(a_k)_{k\in \mathbb{N}}\|=\sum_{k=0}^\infty |a_k|^2$$ (que es inducida a partir de la skalarproduct) $$\langle (a_k)_{k \in \mathbb{N}}, (b_k)_{k\in \mathbb{N}}\rangle= \sum_{k=0}^\infty a_k b_k $$ y teniendo algo así como una función de interruptor, de modo que $$f(a_0,a_1,a_2,\dots)=(0,a_0,a_1,a_2,\dots)$$ Esta es, obviamente, una isometría, pero obviamente no surjective.

Para Hilbertspaces no hay finito dimensionales ejemplos, como con un scalarproduct siempre conseguir que una isometría es afín lineal (voy a considerar el lineal de los casos, por que no hacer una gran diferencia), y como en toda isometría es inyectiva el kernel es trivial (aquí me dicen que es lineal) y, por tanto, la isometría es finito dimensionales caso de un bijection.