¿Por qué algunas personas usan el $+\infty$ en lugar de $\infty$?

Question

¿Por qué algunas personas usan el $+\infty$ en lugar de $\infty$? Porque nos suele denotar menos infinito como $-\infty$, creo que es suficiente para indicar además de la infinidad $\infty$. Existen razones para esta notación? He visto que muchas personas de la licenciatura de análisis de uso como $\int_0^{+\infty}$ o $\sum_{j=1}^{+\infty}$ o $\bigcup_{j=1}^{+\infty}$ que no está relacionado con el infinito sin signo.

Answer 1

Una razón por la que uno podría querer hacer esto es distinguir entre el infinito positivo ($+\infty$) y el infinito sin signo ($\infty$).

Answer 2

Cuando se trata con el punto uno compactification de los números reales (donde debe asociar el número completo de la línea con un círculo de menos de un punto, y definir el punto que falta para ser el infinito), sólo hay un infinito, por lo que es unsigned.

Sin embargo, cuando se trata con el extended real en línea, usted tiene $+\infty$ $-\infty$ definido, y supongo que es útil saber, con sólo mirar el símbolo que se utiliza, cuál es la noción de infinito que está utilizando.

Answer 3

Aquí es mi opinión personal sobre el asunto. Siempre es posible añadir claridad con el mínimo esfuerzo, hazlo! En particular, si usted piensa que es posible que sus lectores pueden confundirse, entonces es mejor hacer el pequeño esfuerzo extra de la escritura $+\infty$ frente al $\infty$. Tal vez el autor(s) que usted está leyendo sienten de la misma manera.

Answer 4

AGREGAR con Respecto a las más informales $+\infty$ frente al $\infty$ en sumas e integrales, usando $+\infty$ en lugar de $\infty$ podría ser más visto desde que nos encontramos a nosotros mismos con $$\int_{-\infty}^{+\infty}$$ de las situaciones, así como

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}$$

o

$$\bigcup_{n=1}^{+\infty}$$

donde queremos hacer el disctinction de signos.

Yo personalmente prefiero, aunque yo no los uso mucho para la convención razones, la alternativa

$$\int_{\Bbb R}$$

$$\sum_{n\in \Bbb Z}$$

y

$$\bigcup_{n\in \Bbb N}$$

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Hay una ligera diferencia entre el$+\infty$$\infty$. En el contexto de la extensión de reales, hablamos de dos puntos, $+\infty$$-\infty$, que hacen de $\Bbb R$ parecerse a $[-1,1]$. Se añaden dos puntos en la final, de manera que cada secuencia $\{x_n\}$ tiene un punto límite en $\Bbb R^*$. Un punto límite de una secuencia $\{x_n\}$ puede ser definida como el límite de una larga de $\{x_n\}$: intuitivamente, este valor límite se tienen puntos de $\{x_n\}$ engordar más y más a él. Como un ejemplo, la secuencia de $(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)$ ambos $-1$ $1$ como límite de puntos.

Si la secuencia es acotado, entonces tenemos una limmit punto (convergente larga, de manera equivalente), por Bolzano Weiertrass, y si la secuencia es ilimitado llegamos $+\infty$ o $-\infty$ como un punto límite (tomar como ejemplo la $0,1,-1,2,-2,3,\dots$, el cual tendrá dos de ellos). Hacemos un disctinction entre ellos para obtener esta construcción particular. Tenga en cuenta que cuando hablamos de $+\infty$ $-\infty$ hablamos de orden:

$$-\infty < x < +\infty$$ for every real $x$.

Pero se puede también adjunto un solo punto, $\infty$, y, a continuación,$\Bbb R$, en vez de mirar como un círculo cerrado: estamos de "unirse a" la línea real por sus "extremos", y de nuevo tenemos un espacio compacto: cada ilimitado secuencia, independientemente de su signo, ha $\infty$ como un punto límite.

Cuando estamos tratando con $\Bbb C$, ya que no hay fin, sólo hablamos de $\infty$, lo que nos "identificar" como el límite del plano complejo. Intuitivamente, estamos tomando el avión, en el que básicamente se ve como un disco sin límite, y el cierre de descuento de la siguiente manera: se toma una cuerda alrededor del círculo y pasar a través de ambos extremos, consiguiendo una esfera, al igual que el cierre de los sacos que tiene cuerda que va dentro de ellos. Básicamente, conseguir que cada secuencia en $\Bbb C$ tiene un punto límite: si es acotada, tenemos uno por Bolzano Weiertrass, y si no lo es, tenemos que $\infty$ es un punto límite.

Answer 5

Creo que esto es distinguir positivo ilimitado desde el punto de $\infty$ sobre la esfera de Riemann.