Lo siento esta respuesta hizo demasiado largo. He clasificado en tres puntos.
(1)
Creo que la razón Kohmoto destaca la importancia de la zona de Brillouin de ser un 'toro'$BZ = T^2$, es porque él quiere decir que BZ es compacto y no tiene límites. Esto es importante debido a la sutileza que hace que todo funcione. El Hall de la conductancia está dado por $\sigma_{xy} = -\frac{e^2}h C_1$ (eq. 4.9), donde la primera Chern número es (eq. 4.8)
$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F = \frac i{2\pi}\int_{BZ} dA$.
Sin embargo, ingenuamente, utilizando el teorema de Stokes $\int_M dA = \int_{\partial M} A$ donde $\partial M$ es el límite de $M$. Desde $BZ= T^2$ y el hecho de que el toro no tiene límite de $\partial T^2$, esto parece implicar que $\int_{\partial BZ} A = 0$ e lo $\sigma_{xy}=0$. Sin embargo, hay una importante sutileza aquí, nuestro uso del teorema de Stokes sólo es correcta si $A$ puede ser construido de forma global en todos los de $BZ$ y esto no se puede hacer en general. Uno tiene que dividir el $BZ$ toro en parches más pequeños y construcción $A$ localmente en cada parche, que ahora tiene límites (ver figura 1). La falta de coincidencia entre los valores de la $A$'s en los límites de los parches hará $\sigma_{xy}$ cero (ver eq. 3.13).
En términos de Rahm cohomology se puede decir que el $F$ pertenece a un no-trivial segundo cohomolgy clase del toro, o en otras palabras, la ecuación de $F = dA$ es cierto sólo localmente a nivel mundial. Y es por eso que nuestro uso del teorema de Stokes estaba equivocado.
En este caso, en realidad se puede reemplazar el toro con una esfera con ningún problema (¿por que se requiere de algunos argumentos de la topología algebraica, pero dentro de poco voy a dar una mejor imagen física de este). En las dimensiones superiores y en otros tipos de aislantes topológicos puede haber una diferencia entre la toma de $BZ$ a un toro o una esfera. La diferencia es que con la esfera, sólo se consigue lo que la gente llama fuerte aislantes topológicos, mientras que con $BZ=T^2$ usted también consigue el llamado débil aislantes topológicos. La diferencia es que, los débiles, los aislantes topológicos corresponden a las pilas de menores dimensiones de los sistemas y de estos sólo existen si no hay simetría traslacional, en otras palabras que NO son sólidos contra las impurezas y el desorden. La gente, por tanto, normalmente pretender $BZ$ es una esfera, ya que la fuerte aislantes topológicos son el más interesante de todos modos. Por ejemplo, la tabla de la K-teoría de la clasificación topológica de los aisladores de las personas usualmente muestran (ver tabla I aquí), corresponden a la utilización de la esfera en lugar de toro, de lo contrario, la mesa se llena de la menos interesante de los estados.
Permítanme darles algunos físicos intuición acerca de lo $\sigma_{xy}$ medidas, haciendo una analogía con el electromagnetismo. En un menor diferencial geométrica de la notación, se puede escribir (eq. 3.9)
$C_1 = \frac i{2\pi}\oint_M \mathbf B\cdot d\mathbf S$,
donde $\mathbf B = \nabla_k\times \mathbf A$ pueden ser entendidas como un campo magnético en el espacio k. Esto no es sino una versión magnética de la ley de Gauss y se mide el total de flujo magnético a través de la superficie cerrada $M$. En otras palabras, mide el total de la carga magnética encerrada por la superficie de la $M$ (ver también aquí). Tome $M=S^2$, la esfera. Si $C_1 = n$ es distinto de cero, lo que significa que existen los monopolos magnéticos en el interior de la esfera con carga total $n$. En convencional electromagnetismo $C_1$ es siempre cero, ya que se asume que no hay monopolos magnéticos! Este es el contenido de la ley de Gauss para el magnetismo, que en forma diferenciada es $\nabla\cdot\mathbf B = 0$. El análogo de la ecuación para nuestro k-espacio "campo magnético" sería $\nabla\cdot\mathbf B = \rho_m$ donde $\rho_m$ es el campo magnético de densidad de carga (ver aquí). Si $M=BZ=T^2$ la intuición es la misma, $C_1$ es el total de la carga magnética en el interior del toroide.
Otra forma de decir lo anterior es que la ecuación de $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ ya que siempre uso y el amor, sólo es correcto a nivel mundial si no existen los monopolos magnéticos alrededor!
(2)
Ahora permítanme abordar el siguiente punto acerca de Gauss-Bonnet teorema. En realidad Gauss-Bonnet teorema no juega ningún papel aquí, es sólo una analogía. Para una de dos dimensiones del colector $M$ sin límite, el teorema dice que el $\int_M K dA = 2\pi (2-2g)$. Aquí $K$ es la curvatura de Gauss y $g$ es el género. Por ejemplo, para el toro, $g=1$ y la integral es cero, como usted ha mencionado también. Este no es el mismo que $C_1$ sin embargo. El de Gauss-Bonnet es el teorema acerca de la topología de colector (por ejemplo el $BZ$ toro), sino $\sigma_{xy}$ está relacionado con la topología de la haz de fibras sobre el toro no es el toro en sí. O en otras palabras, cómo la de Bloch wavefunctions se comportan a nivel mundial. Lo que juega un papel importante para nosotros es Chern-Weil teoría, que es en un sentido una generalización de Gauss-Bonnet teorema. El campo magnético de $\mathbf B$, o lo que es equivalente a la intensidad de campo $F$, es geométricamente la curvatura de un, así llamado, $U(1)$ paquete de más de $BZ$. Chern-Weil teoría dice que la integral sobre la curvatura
$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F$
es un invariante topológico de la $U(1)$ paquete. Esto es análogo a la de Gauss-Bonnet, que dice que la integral sobre la curvatura es un invariante topológico del colector. Así, esta conexión es principalmente una analogía que la gente usa para dar un poco de intuición acerca de las $C_1$, ya que es más fácil ver la curvatura $K$ de la curvatura $F$, lo que es más abstracto.
(3)
El comentario de Xiao-Gang Wen es correcta y para explicarlo requiere entrar en ciertos temas profundos acerca de lo que es el orden topológico, y lo que es un aislante topológico y cuál era la relación entre ellos. La distinción entre estos dos conceptos es muy importante y hay un montón de mal uso de la terminología en la literatura donde estos se mezclan juntos. La respuesta corta es que ambas nociones están relacionados con la topología, pero el orden topológico, es mucho más profundo y richter clase de estados de la materia y de la topología (y quantum entanglement) juega un papel mucho más grande que hay, en comparación con los aislantes topológicos. En otras palabras, el orden topológico es topológico en un sentido muy fuerte mientras aislante topológico es topológico en un muy sentido débil.
Si estás muy interesado, me pueden enviar otra respuesta con más detalles en el comentario de Xiao-Gang Wen ya que éste es ya demasiado grande.
