El campo ordenado completo es un campo arquimediano que no puede extenderse a un campo arquimediano

Question

Como problema extra, nuestro profesor de análisis real nos pidió que demostráramos que los números reales (un campo ordenado completo) no pueden extenderse a un campo arquimediano, sin definir qué quería decir con extender.

He intentado utilizar la prueba por contradicción para demostrar que si tenemos algún conjunto, $\mathbb{R}^{*}$ tal que $\mathbb{R}$ es un subconjunto propio de $\mathbb{R}^{*}$ y que $\mathbb{R}^{*}$ forma un campo arquimediano, entonces porque para que haya nuevos elementos en $\mathbb{R}^{*}$ en lugar de $\mathbb{R}$ tendrían que ser mayores (o menores) que todos los elementos de R. Pero entonces habríamos llegado a una contradicción con la propiedad arquimediana.

El profesor devolvió esta solución y dijo que no es la solución correcta (sin más comentarios). ¿Alguien puede ofrecer alguna aclaración sobre lo que he hecho mal o lo que podría probar ahora?

Todo lo que he encontrado en Google son menciones en libros de texto que van en la línea de "todo campo arquimediano es isomorfo a un subcampo de números reales". Eso implicaría que no podemos extender los reales a un campo arquimediano, pero ¿cómo se puede demostrar eso?

Sólo puedo utilizar la definición básica de un campo ordenado (arquimediano) y otros "básicos", aún no hemos cubierto las secuencias, etc.

Answer 1

Esquema: Dejemos que $F$ sea un campo de extensión arquimediano propio de $\mathbb{R}$ . Sea $\eta$ sea un elemento de $F$ que no está en $\mathbb{R}$ .

Tomando la inversa aditiva si es necesario, podemos suponer que $\eta$ es positivo. Por la supuesta propiedad arquimediana de $F$ hay un número entero mayor que $\eta$ .

Así, el conjunto de $x$ en $\mathbb{R}$ que son $\lt \eta$ está acotado por encima, y por lo tanto tiene un límite superior mínimo $b$ .

Ahora viene el hecho clave, que se deja para que usted lo pruebe: No hay ningún número racional entre $0$ y $|\eta-b|$ .

De esto se puede concluir que $\frac{1}{|\eta-b|}$ es mayor que cualquier número entero, contradiciendo la suposición de que $F$ es arquimediano.

Observación: En cierto sentido, esto refuerza su idea de que cualquier elemento "nuevo" es más grande o más pequeño que cada elemento de $\mathbb{R}$ . Esa parte no era correcta. Sin embargo, desde un nuevo elemento $\eta$ que se supone positiva y menor que algún número entero, se producir un elemento $\frac{1}{|\eta-b|}$ que es mayor que cualquier número entero.