La evaluación de $\int_{0}^{x} e^t \sqrt{2 + \sin(2t)} \, dt$

Question

Recientemente se me pidió evaluar la siguiente integral:

$$\int_0^x e^t \sqrt{2 + \sin(2t)} \, dt$$

Fue más allá del conocimiento de WolframAlpha, que me parece muy desalentador.

¿Alguien tiene una idea de cómo hacer frente a este problema?

Answer 1

Si Mathematica (que es lo que Wolfram Alpha) no puede encontrar un (formato cerrado) de la solución, lo más probable es que no tiene ninguno, ni en términos de "primaria" de las funciones o incluso comúnmente utilizado no primarias funciones especiales (de los cuales Mathematica tiene muy pocas). Hay muchos integrales como eso. No es cierto, pero es probable. Hay un teorema de Liouville que se pueden aplicar para determinar si elementales soluciones son posibles, no estoy seguro acerca de las soluciones a través de funciones más sofisticadas.

Un hecho sorprendente es que incluso los aparentemente muy de apariencia inocente

$\int x^x dx$

no tiene solución, no sólo en términos de funciones elementales, pero no primarias funciones especiales así (al menos, yo no he visto ninguna, y Mma no parece saber de alguno).

A falta de una forma cerrada, usted podría tratar de una expansión de la serie, pero sospecho que va a ser un lío en este caso.

Si usted necesita un valor para un determinado $x$, se puede aproximar a precisión arbitraria, a través de una integración numérica ("cuadratura"), la técnica.

EDIT: NUEVO!!!

El seguimiento de la "expansión de la serie" la idea, he encontrado esta serie infinita expansión. Se basa en la idea de representar sinusoidal por su complejo exponencial de la representación y el uso de la serie de Taylor para la raíz cuadrada.

$$\int_{0}^{x} e^t \sqrt{2 + \sin(2t)} dt = \sqrt{2} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n+k} (2n)!}{(1 - 2n)(n!) 16^n i^n k! (n-k)! (2i(n - 2k) + 1)} e^{(2i(n - 2k) + 1)x}\right) - \sqrt{2} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n+k} (2n)!}{(1 - 2n)(n!) 16^n i^n k! (n-k)! (2i(n - 2k) + 1)}\right)$$.

La cosa es que esta serie se ve muy hipergeométrica. El único problema que veo es la presencia de los factores de $(n-k)!$ $(2i(n - 2k) + 1)$ en el denominador, que dependen TANTO de los índices de...

Answer 2

Ryan Budney la estrategia puede ser ampliado por WolframAlpha. También se proporcionan aproximaciones numéricas si se le pide. También se puede ver que la derivada se presenta contorsionados por lo menos dos veces, que pueden beneficiar a una explicación de la falta de representación de la anti-derivada en términos de funciones elementales.