Se describe el cociente de los anillos en concreto, de cómputo.
Vamos a repasar la definición, es decir, por $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x)$. Dos polinomios $A(x)$ $B(x)$ son llamados equivalente modulo $^2-2x$ si su diferencia es divisible por $x^2-2x$. A continuación, $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x)$ oficialmente consta de las clases de equivalencia, con el "natural" de la adición y la multiplicación modulo $x^2-2x$.
Para cualquier polinomio $A(x)$, existen únicos polinomios $Q(x)$ $R(x)$ tal que $R(x)$ tiene el grado $\lt 2$ y
$$A(x)=(x^2-2x)Q(x)+R(x).$$
De ello se desprende que $A(x)$ es equivalente a $R(x)$. Es fácil ver que dos polinomios de grado $\lt 2$ son equivalentes si son iguales.
Así, las clases de equivalencia puede ser identificado con los polinomios de grado $\lt 2$. Además de la obvia. La multiplicación es un poco más complicado. Veamos cómo calcular el polinomio de grado $\lt 2$ que es equivalente a $(ax+b)(cx+d)$.
Se multiplican en forma natural, para obtener el $ac x^2+(ac+bd)x + bd$. Ahora recuerdo que $x^2-2x$ es equivalente a $0$, por lo reemplace$x^2$$2x$. Obtenemos
$(2ac +ac+bd)x +bd$. Ahora tenemos una fórmula explícita para el producto.
Una analogía: El anillo de $\mathbb{Z}/(12)$ oficial de clases de equivalencia, donde $a$ $b$ se llaman equivalentes si su diferencia es divisible por $12$. Pero es muy útil pensar en las $\mathbb{Z}/(12)$ como compuesto de los objetos $0,1,2, \dots, 11$, con la nueva adición y la multiplicación. (Por ejemplo, $5+9=2$, $5\times 9=9$.)
Del mismo modo, el cociente de los anillos estamos viendo puede ser visto ya sea de manera abstracta o concreta como polinomios de grado $\lt 2$, con una inusual de la multiplicación.
Ya que hemos de hormigón con una imagen de lo que está pasando, debemos ser capaces de responder a algunas preguntas.
En primer lugar mostramos que $\mathbb{Q}[x]/(x^2)$ no es isomorfo a $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$.
Vamos a ver $\mathbb{Q}[x]/(x^2)$ como los polinomios de grado $\lt 2$, con la natural multiplicación excepto que $x^2$ siempre es reemplazado por $0$. A continuación, en el anillo cociente, $(x)(x)=0$. (Estrictamente hablando, la clase de equivalencia de a $x$, a veces sí, es igual a la clase de equivalencia de a $0$.) Por lo $\mathbb{Q}[x]/(x^2)$ tiene un elemento no nulo cuyo cuadrado es $0$.
Nos muestran que $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ no tiene ningún tipo de elemento. Supongamos que al contrario que en $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$, el cuadrado de (la clase de equivalencia)
$ax+b$ $0$ , $(ax+b)^2$ es equivalente a $0$ modulo $x^2-1$.
Hacer la cuadratura. Primero cogemos $a^2x^2+2abx+b^2$. Entonces, desde el $x^2-1$ es equivalente a $0$, reemplazamos $x^2$$1$, y obtener un $2abx+b^2+1$. Este podría ser el $0$ polinomio? No, porque el término constante $b^2+1$ no puede ser $0$.
Por lo $\mathbb{Q}[x]/(x^2)$ $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ difieren en un estructurales de la propiedad: La primera tiene un valor distinto de cero objeto cuyo cuadrado es $0$, y el segundo no. Pero cualquier isomorfismo $\phi$ $\mathbb{Q}[x]/(x^2)$ $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$debe conservar sus propiedades estructurales. La integridad nos hacemos los detalles.
Supongamos que $w\in \mathbb{Q}[x]/(x^2)$ no es cero y $\phi(w^2)=0$,$\phi(w)\ne 0$$0=\phi(w^2)=(\phi(w))^2$. De modo que el cuadrado de $\phi(w)$$0$. Esto contradice nuestra anterior cálculo, el cual mostró que el cuadrado de un elemento no nulo de a $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ no puede ser cero.
A continuación se muestra que el $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ es isomorfo a $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x)$.
Desde $x^2-2x=(x-1)^2-1$, la clase de equivalencia de a $x$ $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$
deben comportarse como la clase de equivalencia de a$x-1$$\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x)$.
Ya que estamos tratando con clases de equivalencia módulo dos diferentes polinomios, debemos cambiar nosotros para una más precisa de la notación. Denota la clase de equivalencia de a $P(x)$ modulo $x^2-1$$P(x)/(x^2-1)$, y el modulo $x^2-2x$$P(x)/(x^2-2x)$. (Deberíamos haber utilizado esta más precisa notación desde el principio, pero evitar que por el bien de una mayor concreción. Pero en lo que sigue, no dejes que el $/(??)$ partes se preocupe usted, y tal vez incluso a omitir.)
Entonces, ¿qué $(ax+b)/(x^2-1)$ ser enviadas por nuestros isomorfismo $\phi$? La elección natural es $(a(x-1) +b)/(x^2-2x)$.
Es claro que (clases de equivalencia módulo $x^2-1$) de los polinomios de grado $\lt 2$ son enviados bijectively por $\phi$ a (clases de equivalencia módulo $x^2-2x$) de los polinomios de grado $\lt 2$. También debemos comprobar que el $\phi$ preserva la adición y la multiplicación.
La comprobación de la adición es muy fácil. Vamos a tratar con la multiplicación. Ver el $(ax+b)(cx+d)$. Modulo $x^2-1$, esto es (equivalente a) $(ad+bc)x + ac+bd$.
Tenga en cuenta que $\phi$ mapas de $(ax+b)/(x^2-1)$ $(a(x-1)+b)/(x^2-2x)$y mapas
$(cx+d)/(x^2-1)$ $(c(x-1)+d)/(x^2-2x)$. También, $\phi$ mapas
$((ad+bc)x + ac+bd)/(x^2-1)$ $((ac+bd)(x-1)+ ac+bd)/(x^2-2x)$. Así que necesitamos a verificar verificar que
$$(a(x-1)+b)(c(x-1)+d) \quad\text{is equivalent to}\quad (ac+bd)(x-1)+ ac+bd$$
modulo $x^2-2x$.
Multiplicar el lado izquierdo, con el hecho de que $(x-1)^2-1$ es equivalente a $0$. Llegamos $(ac+bd)(x-1)+ac+bd$, exactamente lo que quería.
Comentario: Mira por ejemplo en $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2x)$. El hecho de que $x^2-2x$ factores bien significa que podemos expresar $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ como un producto directo de estructuras más simples. Esta importante información estructural es más fácil de enfoque a través de un enfoque más abstracto. Sin embargo, una concreta visión de las cosas es siempre útil, tanto para la comprensión y para la de álgebra computacional.
