La minimización de una expresión - con la participación de polinomio

Question

He encontrado este foro, pero ha sido sin respuesta a partir de ahí mucho tiempo. Tengo curiosidad por saber si hay una solución a este problema. Aquí está:

Deje que n sea un entero positivo. Determinar el menor valor posible de $$|p(1)|^2+|p(2)|^2 + .........+ |p(n+3)|^2$$ sobre todo monic polinomios p de grado n.

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Yo no tengo mucha idea sobre el problema. Me pueden seguir asumiendo $p$ a ser algunos monic polinomio y encontrar $p(1)$, $p(2)$.... en términos de los coeficientes, pero no creo que va a ayudar. Esto es algo de desigualdad relacionadas con el problema, supongo.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

PS: ¿alguien por favor, compruebe si he añadido el correcto etiquetas? No estoy seguro de donde este tipo de problema debe pertenecer.

Answer 1

Vamos a definir, para dos polinomios $p,q$ de grado en la mayoría de las $n$, la forma bilineal $$(p,q):=\sum_{k=1}^{n+3}p(k)q(k)$$

Observar que esta forma bilineal es un producto escalar desde $||p||^2:=(p,p)$ es positiva definida. $$||p||^2=0\implies p=0$$

Tenemos que encontrar el punto más cercano de $A:=\{p:\ p\text{ is monic}\}$ a la de origen. Equivalentemente, podemos encontrar la distancia a $-x^n$ el lineal subespacio $B:=A-\{x^n\}=\{p:\ \text{deg}(p)<n\}$.

Sabemos que el polinomio proporcionar la distancia mínima es la proyección ortogonal $P(x)$ $v:=v(x):=-x^n$ a $B$. Si $v_1(x),v_2(x),...,v_n(x)$ es una base ortonormales de $B$

$$P(x)=\sum_{k=1}^{n}(-x^n,v_k)v_k(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(1)}$$

Para obtener una base ortonormales de $B$ podemos aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt a la base de $B$, decir $1,x,..,x^{n-1}$.

Para hacer el cálculo nos deja denotar $$s_m:=\sum_{k=1}^{n+3}k^m$$ Vemos que $$(x^r,x^s)=s_{r+s}$$

Podemos escribir el resultado de Gram-Schmidt determinantes de la forma como $$v_i(x)=\frac{1}{\sqrt{D_{j-i}D_j}}\text{det}\begin{bmatrix}s_0&s_1&...&s_{j-1}\\s_1&s_2&...&s_j\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\s_{j-2}&s_{j-1}&...&s_{2j-3}\\1&x&...&x^{j-1}\end{bmatrix}$$ donde $$D_j=\text{det}\begin{bmatrix}s_0&s_1&...&s_{j-1}\\s_1&s_2&...&s_j\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\s_{j-1}&s_{j}&...&s_{2j-2}\end{bmatrix}$$

Ahora podemos calcular $$(-x^n,v_k(x))=\frac{1}{\sqrt{D_{j-i}D_j}}\text{det}\begin{bmatrix}s_0&s_1&...&s_{j-1}\\s_1&s_2&...&s_j\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\s_{j-2}&s_{j-1}&...&s_{2j-3}\\-s_n&-s_{n+1}&...&-s_{n+j-1}\end{bmatrix}$$

Así, el polinomio que minimiza la suma es

$$x^n+P(x)$$

Answer 2

Publicado y respondió en Mathoverflow. La fórmula es $(2n+1)(2n+3) n!^4 / (2n)!$. Véase mi respuesta a MO_210823 para la prueba.

En general, el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{n+k+1} p(i)^2$ más de monic polinomios $p$ grado $n$ es $$ \frac{n!^4}{(2n)!} {2n+1+k \, \elegir k}, $$ y la minimización de $p$ es proporcional a la Hahn polinomio $Q_n$ evaluado en $x-1$ ( $\alpha=\beta=0$ $N = n+k+1$).