La homogeneidad en cosmología significa uniformidad de un punto a otro, no sólo en composición o contenido, sino también en geometría. Un espacio vacío con una singularidad sigue siendo no homogéneo. La isotropía en cada punto implica homogeneidad, pero no estamos en condiciones de observar el universo desde todos los puntos. Matemáticamente, La isotropía en dos puntos distintos cualquiera ya implica la homogeneidad Pero en la práctica necesitamos que estén suficientemente alejados, y no estamos en condiciones de observar el universo ni siquiera desde dos puntos suficientemente alejados (recordemos que los telescopios no resolvieron el paralaje estelar hasta 1838, y su ausencia se utilizó como argumento contra el movimiento de la Tierra).
Por otro lado, es fácilmente posible que el universo sea isotrópico en algunos punto, en particular en el punto en el que estamos nosotros y la Tierra, sin ser homogéneo. Cualquier distribución esférica simétrica no constante de la materia servirá. Para obtener la homogeneidad a partir de la isotropía -aquí hay que invocar el llamado Principio copernicano que afirma que ni el Sol ni la Tierra ocupan una posición especial en el universo. Por supuesto, el principio copernicano es efectivamente el contrapositivo de la homogeneidad, todos los lugares son iguales reformulado como ningún lugar es especial. Véase discusión en los Foros de Física .
Así que cuando se dice que el universo es "homogéneo e isotrópico" no hay "solapamiento" porque sólo la isotropía-aquí se entiende como una suposición. Por otra parte, la isotropía-aquí (lo único que observamos realmente) y la homogeneidad implican la isotropía en todas partes como conclusión. Al rechazar el principio copernicano se puede construir una curiosa cosmología del vacío gigante por ejemplo, que explica la expansión acelerada del universo sin la energía oscura, pero "la mayoría de los científicos creen que no es razonable adoptar un modelo cosmológico en el que el universo es simplemente una broma que se hace en beneficio de la humanidad".
También es posible que un espacio sea homogéneo pero anisótropo puramente geométrico, sin contenido de materia. Un ejemplo sencillo de visualizar es un cilindro bidimensional: todos los puntos parecen iguales, pero las direcciones verticales y horizontales parecen diferentes (globalmente). Un ejemplo tridimensional es el espacio dodecaédrico de Poincare, que se obtiene identificando ciertos puntos de la $3$ -Esfera. Si nuestro universo tuviera esta forma habría patrones observables en la radiación del CMB indicándolo.
También hay una diferencia entre la homogeneidad local y la global, las vecindades de todos los puntos, pueden parecer iguales, pero algunos puntos pueden seguir siendo especiales desde el punto de vista global. Tomemos como ejemplo un disco plano abierto, el tensor métrico es constante en todas partes, por lo que las vecindades pequeñas de todos los puntos "parecen iguales", pero el centro es especial, no hay ninguna isometría global que lo mapee a cualquier otro punto. Hay menos visuales como ejemplos que no tienen un "límite .
