El valor de la trilogarithm en $\frac{1}{2}$

Question

A partir de la ecuación funcional

$$\text{Li}_{3}(z) + \text{Li}_{3}(1-z)+ \text{Li}_{3} \Big( 1 - \frac{1}{z} \Big) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} (z)}{6}+ \frac{\pi^{2} \ln (z) }{6}- \frac{\ln^{2} (z) \ln(1-z)}{2}$$

uno puede determinar el valor de $\text{Li}_{3} (\frac{1}{2} )$ desde

$$ \text{Li}_{3}(-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{3}} = -\Big(1 - 2^{-2} \Big) \zeta(3) = - \frac{3}{4} \zeta(3) $$

Pero, ¿cómo hace uno para que se derivan funcional de la ecuación?

Una similar funcional de la ecuación de la dilogarithm, a partir de la representación integral $$ \text{Li}_{2}(z) = - \int_{0}^{z} \frac{\ln(1-t)}{t} \ dt $$

Hay una mejor manera de encontrar el valor de $\text{Li}_{3} (\frac{1}{2} )$?

Answer 1

La diferenciación de la izquierda, nos encontramos con \begin{align} &\frac{d}{dz}\Bigl(\mathrm{Li}_3(z)+\mathrm{Li}_3(1-z)+\mathrm{Li}_3(1-z^{-1})\Bigr)=\\&= \frac{\mathrm{Li}_2(z)-\mathrm{Li}_2(1-z^{-1})}{z}-\frac{\mathrm{Li}_2(1-z)+\mathrm{Li}_2(1-z^{-1})}{1-z}\tag{1} \end{align} Vamos ahora a demostrar que \begin{align} &\mathrm{Li}_2(z)-\mathrm{Li}_2(1-z^{-1})=-\ln z\ln(1-z)+\frac12\ln^2 z+\zeta(2),\tag{2}\\ &\mathrm{Li}_2(1-z)+\mathrm{Li}_2(1-z^{-1})=-\frac12\ln^2z.\tag{3} \end{align} En ambos casos, es suficiente para diferenciar ambos lados con respecto a $z$ (recordemos que $\displaystyle\mathrm{Li}_2'(z)=-\frac{\ln(1-z)}{z}$), compruebe que las correspondientes expresiones coinciden y, por último, comprobar los valores en $z=1$ a arreglar la integración constantes (por ejemplo, $\zeta(2)$ (2) aparece como $\mathrm{Li}_2(1)$).

Por lo tanto hemos demostrado que \begin{align} &\frac{d}{dz}\Bigl(\mathrm{Li}_3(z)+\mathrm{Li}_3(1-z)+\mathrm{Li}_3(1-z^{-1})\Bigr)=\frac{\zeta(2)-\ln z\ln(1-z)}{z}+\frac{\ln^2 z}{2z(1-z)}.\tag{4} \end{align} Es fácil comprobar que el lado derecho de (4) coincide con la derivada del lado derecho de la identidad citado en la pregunta. Por lo tanto, para probar que la identidad, ahora es suficiente para comprobar que en un punto (y $z=1$ es la opción más sencilla una vez más).