Binario tetraédrica grupo y $\rm{SL}_2(\mathbb F_3)$

Question

El binario tetraédrica grupo $\mathbb T$ es una interesante 24-grupo de elementos. Por ejemplo, se puede expresar como el subgrupo $$ \mathbb T = \left\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k, \dfrac{\pm 1 \pm i \pm j \pm k}2 \right\} \subseteq \mathbb{H}^\times$$ de la multiplicativo grupo de los cuaterniones (que también le da un fascinante regular de 24 vértice 4-poliedro).

Alternativamente, el binario tetraédrica grupo puede ser considerado como el inverso de la imagen de $\mathfrak A(4)$ a través de la 2:1 de morfismos $\rm{SU}_2 \to \rm{SO}_3$ ($\mathfrak A(4) \subseteq \rm{SO}_3$ siendo el grupo de directo isometrías del tetraedro regular).

La propiedad que me desconcierta es la siguiente: $\mathbb T$ es isomorfo al grupo de matrices $\rm{SL}_2(\mathbb F_3)$.

Soy capaz de dar una prueba de este resultado, pero no iluminadora. Esencialmente, un 24-grupo de elementos con un subgrupo isomorfo a las 8 elementos de cuaterniones grupo $\rm Q_8$ es isomorfo a $\rm Q_8 \times \rm C_3$ o a la única que no sea trivial semidirect producto $\rm Q_8 \rtimes \rm C_3$; que no es difícil demostrar que tanto $\mathbb T$ $\rm{SL}_2(\mathbb F_3)$ satisfacer esta propiedad y que pertenecen al segundo caso. La única cosa interesante acerca de esta prueba es la descripción de la normal $\rm Q_8$: por un lado $\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \subset \mathbb T$ es la inversa de la imagen de la bastante excepcional Vierergruppe $V_4 = \{ \rm{id}, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} \lhd \mathfrak A(4)\subseteq \rm{SO}_3$; por otro lado, los elementos de $\mathrm{SL}_2(\mathbb F_3)$ cuales son diagonalisable $\mathbb F_9$ - o, de manera equivalente, $\pm I_2$ y las matrices cuya traza es igual a cero de forma normal subgrupo isomorfo a $\rm Q_8$ (y es bastante sorprendente que forman un subgrupo!) cuyos elementos son $$\begin{array}{l} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \end{array}$$

Como he dicho antes, esta prueba no es muy satisfactorio. De ahí mi pregunta:

Hay una gran prueba de la isomorfismo $\mathbb T \simeq \rm{SL}_2(\mathbb F_3)$?

Answer 1

Vamos a empezar con el anillo de la $H$ de Hurwitz cuaterniones (cuaterniones s.t. todos los coeficiente son enteros o todos los coeficientes son la mitad de enteros). El anillo de $H\otimes\mathbb F_p$ es un álgebra de cuaterniones sobre un campo finito, es decir, una matriz álgebra $Mat_{2\times 2}(\mathbb F_p)$ (con determinante como la norma).

Ahora el binario tetraédrica grupo es el grupo de norma 1 elementos en $H$ y mapas injectively (por $p>2$) para el grupo de norma 1 elementos en $H\otimes\mathbb F_p$, es decir, a $SL_2(\mathbb F_p)$. En particular, para $p=3$ tenemos un isomorfismo $\mathbb T\to SL_2(\mathbb F_3)$.

(Ref.: TWF 198.)

Answer 2

Sabemos que $\mathbb T= <x,y,z| x^2=y^3=z^3=xyz>$. También sabemos que $ord(xyz)=2$, $\mathbb{T}/<xyz> \simeq A_4$ y $\mathbb{T}$ no tiene subgrupos de orden 12.

En uno de mis problema hojas, estamos destinados a dar una visita guiada de la prueba del hecho de que $\mathbb T \simeq SL_2( \mathbb F_3)$ mostrando que el mapa de $\phi: \mathbb T \to SL_2(\mathbb F_3)$ que envía $$x \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right), y \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \text{ and } z \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$$ extends to an isomorphism between $\mathbb T$ and $SL_2( \mathbb{F}_3)$. Este mapa es claramente un homomorphism, porque es fácil ver que las imágenes de los generadores respecto a las relaciones.

Podemos contar los elementos de $SL_2(\mathbb F_3)$ a ver que $|SL_2(\mathbb F_3)|= | \mathbb{T}|=24$, así que la única cosa que todavía tenemos que demostrar es que el $\phi$ es inyectiva o surjective. Nadie puede pensar de una manera fácil para probar esto? Creo que esto podría conducir a una fácil prueba de que el resultado, sin hacer uso de la noción de semidirect productos.