¿He hecho una línea recta o un círculo?

Question

( Descargo de responsabilidad: Soy ingeniero)
Hola a todos, he encontrado esta "adivinanza" publicada en Internet:

Es una broma, pero creo que merece una respuesta :)
Un poco de historia: las elipses naranja y azul son una cita del videojuego Portal. Son "portales" conectados de forma que todo lo que entra en uno de ellos sale del otro, manteniendo su impulso (esta última parte es el fundamento del juego). Para más información, también puedes ver el trailer .

Entonces ¿es un círculo, una línea recta o qué más?

(además, siéntete libre de reetiquetar)

Answer 1

Aunque estoy (ligeramente) en desacuerdo con la caracterización que Nate hace de los geómetras en sus comentarios, creo que en realidad contiene algunas nociones profundas que merece la pena debatir.

El quid de la cuestión es, cómo se define un círculo y cómo se define una línea ? Y en la aparente paradoja de la pregunta original, la resolución es que hay (al menos) dos formas diferentes de distinguir los círculos de las líneas, lo que, en conjunto, permite que un objeto sea simultáneamente una línea en una definición pero un círculo en la otra.

En el topológico el círculo y la recta son dos ejemplos de variedades unidimensionales lisas conectadas. Como se trata de topología, se permite que todo sea elástico/flácido, así que la única diferencia que realmente nos importa entre el círculo y la recta es que la segunda es simplemente conexa, mientras que la primera no lo es. Más concretamente, se puede encontrar (trivialmente) un bucle cerrado en el círculo que no se pueda deformar continuamente hasta un punto, mientras que cualquier bucle cerrado en la recta debe "retroceder" lo suficiente como para que se pueda reducir continuamente hasta un punto.

Una segunda descripción del círculo y la línea procede del geométrico categoría. (En geometría, una línea es, intuitivamente, la curva más recta posible, por la que entendemos "una curva que minimiza localmente la distancia entre dos puntos". Es un caso especial interesante de la Teorema de Cartan-Hadamard que, en una variedad simplemente conexa de curvatura no positiva (en particular, el espacio euclidiano plano habitual), los rayos (geodésicos) que parten del mismo punto en dos direcciones diferentes divergen para siempre y nunca se cruzan. (De hecho, la divergencia de los rayos geodésicos es una caracterización de la curvatura no positiva; compárese también con el caso de la curvatura positiva en una esfera, donde dos grandes círculos cualesquiera se cruzan exactamente en dos puntos). Como el mundo en el que vivimos es más o menos plano, nuestra intuición común es que una línea no debe intersectarse. Por supuesto, si pensamos en viajar por el esferoide oblato que es la Tierra, podemos llegar a una conclusión algo diferente.

La situación de Portal está precisamente a la altura de romper la hipótesis del teorema de Cartan-Hadamard en topología. Como ya se ha dicho, el teorema de Cartan-Hadamard exige que el espacio sea simplemente conexo. Al permitir que el Portal, que es una identificación dos subconjuntos distintos del espacio euclidiano habitual, que recoger una topología no trivial. Y por lo tanto el teorema de Cartan-Hadamard puede fallar. Por lo tanto su cuerda se permite que sea simultáneamente un línea en el sentido de que es una curva lo más recta posible y una círculo en el sentido de que es una curva que vuelve a su punto de partida, e intrínsecamente tiene topología no trivial.

Answer 2

Una forma de captar la redondez de un círculo es incrustarlo en un plano y medir la distancia entre dos puntos utilizando el plano ambiente. Otra forma de medir la distancia en un círculo es simular que eres una hormiga que se mueve dentro del círculo. Entonces se mide la distancia en función de lo lejos que se camina dentro del círculo. Se trata de un círculo "plano". Es isométrico respecto al círculo representado por la cuerda en tu imagen. (Una hormiga caminando por esa cuerda no podría distinguir ninguna diferencia intrínseca entre la cuerda y el círculo en el plano).

Answer 3

¿El ecuador de la Tierra es una línea o un círculo?

Es un círculo, por supuesto. Pero como ya sabrás, por la respuesta de Willie Wong y por otras, también es una geodésica, que se parece mucho a una línea recta: a menos que estés dispuesto a cavar mucho, el ecuador es el camino más corto entre dos lugares cualesquiera de él.

Su imagen de Portal no se parece en nada a la Tierra. Pero en mi cocina tengo una tabla de cortar que es un rectángulo plano con un agujero rectangular delgado cortado cerca de un lado, como un asa para llevar. Las esquinas están algo redondeadas. Ahora bien, una hormiga que caminara por la parte superior, si pasara por el asa, acabaría en la parte inferior con su impulso reflejado. Lo mismo ocurriría si pasara por encima de un borde.

Imagina una proyección ortográfica de mi tabla de cortar. (Por cierto, también soy ingeniero. Aprendí a dibujar a la antigua usanza, con una escuadra T). Dibujo una vista superior que es un rectángulo con un fino agujero rectangular vertical cerca del lado derecho. A la derecha coloco una vista lateral que no es más que un rectángulo vertical con un par de líneas ocultas, del grosor de la tabla de cortar. No es normal "tercer-ángulo" para dibujar también la vista inferior, pero lo haré, por lo que es un rectange con un agujero rectangular vertical delgada cerca del lado izquierdo.

Una hormiga que caminara por el borde derecho pasaría, en el dibujo, de la vista superior a la vista lateral y a la vista inferior con su impulso inalterado. (Desde una perspectiva 2D, los bordes no son especiales. Otra cosa son las esquinas). Si caminara por el asa, pasaría de un rectángulo de la vista superior a través de un "interespacio" -líneas ocultas en la vista lateral- al otro rectángulo de la vista inferior, de nuevo con su momento sin cambios. Imaginemos que atamos una cuerda alrededor del mango y del borde derecho de la tabla de cortar. En el dibujo, sería una línea recta entre los dos rectángulos que pasa por las tres vistas.

Así que la zona alrededor del mango y el borde derecho de mi tabla de cortar se parece mucho a una versión 2D de Portal. Se puede pensar en Portal 3D como si se jugara en la hipersuperficie de una tabla de cortar de dimensiones superiores. (Para visualizar una tabla de cortar de dimensiones superiores, piensa en una tabla de cortar normal mientras disfrutas de un "cigarrillo de hierbas").