La cardinalidad de los conjuntos de Lebesgue

Question

Supongamos $A=\{S\;|\;S \subset \mathbb R^n, S\text{ is Lebesgue measurable}\}$. ¿Cuál es la cardinalidad de a $A$? Es la misma que la cardinalidad de todos los números reales?

Answer 1

Sugerencia:

Tenga en cuenta que el conjunto de Cantor, o alguna copia de la misma en $\Bbb R^n$ es Lebesgue medible con medida cero.

1. Cada subconjunto de un conjunto null es medible.
2. La cardinalidad del conjunto de Cantor es $2^{\aleph_0}$.

Answer 2

Si $A$ es el estándar del conjunto de Cantor, a continuación, $A\subseteq\mathbb R^1$ es Lebesgue medible, y tiene medida cero y el mismo tamaño como los reales. Cualquier subconjunto de a $A$ también es medible, por lo que hay muchos Lebesgue medibles subconjuntos como existen conjuntos de reales (que es estrictamente mayor que el tamaño de los reales).

El mismo tiene en $\mathbb R^n$$n>1$, ya que el $[0,1]\times\{0\}^{n-1}$ es Lebesgue medible de medida $0$ y tiene el mismo tamaño como $\mathbb R$.

La clave aquí es que la medida de Lebesgue es completa, por lo que cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible. En contraste, sólo hay como muchos de los conjuntos de Borel, ya que hay números reales.