¿Por qué debería de ruido Gaussiano tiene una dimensión fractal de 1.5?

Question

En un artículo que estoy tratando de entender, la siguiente serie de tiempo es generado como "datos simulados":

$$Y(i)=\sum_{j=1}^{1000+i}Z(j) \:\:\: ; \:\:\: (i=1,2,\ldots,N)$$

where $Z(j)$ is a Gaussian noise with mean $0$ and standard deviation $1$.

The paper is about estimating the fractal dimension of $Y$ (not to mention some other series). The author says that the fractal dimension of $Y$ is $1.5$, but doesn't explain why.

My first question is why should we expect the fractal dimension of $Y$ to be $1.5$?

My second question is: can anyone think of a reason why I keep getting a fractal dimension of about $2$ for $Y$, when using the technique described in the paper?

That technique, summarized, is:

1) Create a new set of time series based on the original $Y$ as follows:

$$X^m_k=Y(m),Y(m+k),Y(m+2k),\ldots,Y\left(m+\left \lfloor \frac{N-m}{k}\right \rfloor k\right) \:\:\:\: ; \:\:\:\: (m=1,2,\ldots,k)$$

where the notation $\a la izquierda \lfloor \right \rfloor$ denotes the floor function, and $k=1,2,3,4,\ldots$. But for $k>4$, $k=\lfloor 2^{(j-1)/4} \rfloor$ where $j=11,12,13,\ldots$

2) Define and calculate the "length" of each "curve" $X^m_k$ as follows:

$$L_m(k)=\frac{1}{k} \frac{N-1}{Qk} \left( \sum_{i=1}^{Q} \left | X(m+ik)-X(m+(i-1)k) \right | \right)$$

where $Q=\left \lfloor\frac{N-m}{k} \right \rfloor$

3) For each $k$, define the average $L_m(k)$ (averaged over $m$) as $s(k)=\langle L_m(k) \rangle$, and then scatter plot $\ln(y(k))$ against $\ln(k)$ and fit a line via least squares. The line should be straight. And the slope of the line should be about $-1.5$, the negative of which is then interpreted as an estimation of the fractal dimension.

When I follow these steps, I get a straight line, but slope of $-2$.

El papel es Higuchi. 1988. "Aproximación a una irregularidad de series de tiempo sobre la base de la dimensión fractal."

EDIT: ¿ha dado una respuesta en la que originalmente me aceptó, pero luego de la onu-aceptado. Me onu-aceptado la respuesta, porque no estoy de seguir los pasos de su prueba, especialmente el último paso; y porque es conocido dentro de la dimensión fractal de la teoría de que cualquier espacio de llenado de la curva debe tener una dimensión fractal cerca de 2. Ruido gaussiano (un.k.una. ruido blanco), es el espacio de llenado, y mi código me da la pendiente de -2. Puedo incluir mi código de matlab a continuación. Agradezco si alguien puede señalar un error en la lógica, pero como lo que yo puedo decir es exactamente el algoritmo descrito por Higuchi, y francamente se ha trabajado muy bien para mí. Por ej., da resultados razonables para los llamados "Brown(ian)" el ruido (FD=1.5), que está a medio camino entre el total de la aleatoriedad del ruido blanco y el total determinismo de una onda sinusoidal.

function [fractdim]=FractDim(Data,jstart,jend)

kvec=[1:4 floor(2.^([jstart:jend]./4))];
indkend=length(kvec);
%--------
% Fractal Dimension
for indk=1:indkend
    k=kvec(indk);
    for m=1:k
        Xend=floor((N-m)/k);
        Xsum=sum(abs(X(m+[1:Xend]*k)-[0; X(m+[1:Xend-1]*k)]));
        Lmk(m)=1/k*1/k*(N-1)/Xend*Xsum;
    end
    AvgLmk(indk)=mean(Lmk);
    Lmk=[];
end
%--------
x=log(kvec);y=log(AvgLmk);
p=polyfit(x,y,1);m=p(1);b=p(2);
fractdim=-m;

Answer 1

T. Higuchi, Enfoque a irregularidades en la serie de tiempo sobre la base de la dimensión fractal, Physica D: los Fenómenos no Lineales, Volumen 31, número 2, junio de 1988, Páginas 277-283.

Mi segunda pregunta es: ¿alguien puede pensar en una razón de por qué sigo recibiendo una dimensión fractal de alrededor de 2 para Y, cuando se utiliza la técnica descrita en el documento?

Esta pregunta es difícil de responder ya que no muestran sus cálculos, sino $D=\frac32$.

Para mostrar esto, tenga en cuenta que para cada proceso con incrementos estacionarios como $(Y(i))_i$, $$ \mathbb E(L(k))=\frac1k\frac{N-1}{Qk}Q\,\mathbb E(|Y(k)-Y(0)|), $$ y que en el presente caso $\mathbb E(|Y(k)-Y(0)|)=\sqrt{k}\,\mathbb E(|Z|)$ desde $Y(k)-Y(0)$ es la suma de $k$ i.yo.d. aleatoria normal estándar de las variables por lo tanto es igual a $\sqrt{k}|Z|$ en la distribución con $Z$ normal estándar. Por lo tanto, $D=\frac32$ desde $$ \mathbb E(L(k))=\frac{N-1}{k\sqrt{k}}\,\mathbb E(|Z|). $$ El mismo cálculo de los rendimientos de $D=2$ al $(Y(i))_i$ es yo.yo.d. y $D=1$ al $(Y(i))_i$ es regular, decir $Y(i)=Y(0)+iT$ para algunos variable aleatoria integrable $T$.

Answer 2

He repetido Higuchi cálculos y tengo exactamente la misma respuesta, como él lo prometió D=-1.5143. Preste atención al número de veces que se divide la longitud de las series Lmk por k. Que fue mi error por primera vez, cuando me he perdido el final de un promedio de entre el conjunto de la serie k y nos mudamos de Lkm para <Lkm>. Aquí las puntiagudas soportes soportes adicionales en promedio.

Y si quieres saber "¿por qué?" ... Creo que no importa aquí. Tal y como yo lo entiendo, que se sienten frustrados de que su código no está funcionando ))