Demostrar que $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1}$ está acotada arriba por $\frac{13}{20}$

Question

Quiero hacer una pregunta acerca de una suma. El ejercicio es como sigue:

Demostrar la siguiente desigualdad para cada $n \geq 1$:

$$\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1} \leq \frac{13}{20} .$$

Answer 1

Desde $\frac{1}{k^2+3k+1}$ es monótona decreciente para $k\geq 0$, tenemos

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1} &\leq \frac{1}{5} + \frac{1}{11} + \int_2^\infty \frac{1}{k^2+3k+1} dk\\ &< \frac{1}{5} + \frac{1}{11} + \int_2^\infty \frac{1}{k^2+2k+1} dk\\ &= \frac{1}{5}+ \frac{1}{11} + \frac{-1}{k+1}\Big\vert_2^\infty\\ &= \frac{1}{5} + \frac{1}{11} + \frac{1}{3}\\ &< \frac{13}{20}. \end{align*} $$

EDIT: no me di cuenta de que estaba etiquetado de la tarea; ahora me siento un poco culpable dar una solución explícita. Aquí están los pasos que tomé para llegar a esta respuesta, que podría ser útil para la solución de problemas similares.

1. Me acordé de que monotónica de la serie puede estar delimitado por las integrales, por el pensamiento de la serie como un derecho suma de Riemann. Esto sugiere que el trato de los dependientes de $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1} \leq \frac{1}{5} + \int_1^{\infty} \frac{1}{k^2+3k+1} dk.$$

2. Que la integral de la derecha parece bastante desagradables; el denominador no se tiene en cuenta para la antiderivada se tienen registros y arctans en abundancia. Pero puedo obligado de la integral por el mucho más agradable cuadrado perfecto $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1} \leq \frac{1}{5} + \int_1^{\infty} \frac{1}{k^2+2k+1} dk = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{14}{20}.$$

3. Ack! El atado es que apenas no lo suficientemente apretado. Sacar más términos de la suma debe mejorar, así que trate de $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+3k+1} \leq \frac{1}{5} + \frac{1}{11} + \int_2^{\infty} \frac{1}{k^2+2k+1} dk,$$ que después de trabajar los detalles se convierte en trabajo.

Answer 2

Esta vez voy a apelar a la famosa resultado de los convenios de Basilea problema y conseguir que:

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2+3k+1} \leq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{(k+1)^2} = \frac{{\pi}^2}{6}-1\\$$

Pero $$\frac{{\pi}^2}{6}-1 \leq \frac{13}{20}$$

La prueba está completa.