¿Puede considerarse transitiva una relación con menos de 3 elementos?

Question

La regla de generalización de una relación transitiva es

a -> b
b -> c
therefor
a -> c

Si un elemento tiene menos de 3 elementos, ¿puede seguir siendo transitivo? Si es así, ¿proporciona eso alguna información útil?

Answer 1

La regla general para una relación $\;\sim\;$ sea una relación transitiva sobre un conjunto $S$ Debemos tener eso para todos $a, b, c \in S$ con $a, b, c\;$ no necesariamente distintos .

• SI $\;a \sim b\;$ Y SI $\;b \sim c,$
• ENTONCES DEBEMOS tener eso $a \sim c$

Si resulta que hay menos de tres elementos, entonces siempre que la reflexividad se mantenga para todos $a \in S$ y la simetría se mantiene para todo $a, b \in S$ , entonces la transitividad sigue.

Digamos que tenemos la relación $R$ denotado por $\sim$ en el plató $\{a, b\}$ . $\,\,\,$

A continuación, siempre que $a \sim a$ , $b \sim b$ , $a \sim b$ Y $b \sim a$ para que $R =\{(a, a),(b, b), (a, b), (b, a)\}$ entonces $R$ es reflexivo, y simétrico, y por lo tanto debe ser transitivo, dado que sólo hay dos elementos.

Si $S = \{a\}$ entonces cualquier relación que sea reflexiva, es decir, cualquier relación para la que $R = \{(a, a)\}$ resulta ser también (trivialmente) simétrica y transitiva.

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La única vez que la transitividad falla es cuando existe a, b, c tal que

$a \sim b$ y $b \sim c$ , PERO NO $a \sim c$ .

A veces es más fácil entender que un la relación es transitiva , A MENOS que exista un contraejemplo como se ha descrito anteriormente.

Answer 2

Sí, y sí, respectivamente. Por ejemplo, la relación $\{(a,b),(b,a)\}$ no es transitivo; su cierre transitivo es $\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$ . Así que la información útil que se obtiene al saber que se tiene una relación transitiva que contiene $(a,b)$ y $(b,a)$ es que también debe tener $(a,a)$ y $(b,b)$ .

Answer 3

Puede ser transitivo o no. Depende del conjunto y de la relación.

1. Sea S={} entonces R={} y es trivialmente transitivo.
2. Sea S={a} entonces hay dos relaciones R1={}, R2={(a,a)} y ambas son transitivas trivialmente.
3. Sea S={a,b} entonces hay 16 relaciones
   • R1={} --> Transitivo
   • R2={(a,a)} --> Transitivo
   • R3={(b,b)} --> Transitivo
   • ......
   • R6={(a,a),(a,b)} --> Transitivo
   • R7={(a,b),(b,a)} --> No Transitivo
   • y así sucesivamente.

Answer 4

Recordemos la definición de transitividad : para todo x,y,z en un conjunto A con la relación R, si xRy e yRz entonces xRz.

Ahora, si tenemos 2 elementos, piensa que nuestra condición no se puede cumplir (a menos que tomes 2 elementos como iguales), y siempre que las condiciones de una propiedad no se puedan cumplir entonces consideramos que la propiedad se cumple.

Matemáticamente, no es del todo correcto (lo entiendo) pero es una buena forma de entenderlo de forma sencilla me parece.