El límite de la derivada de una creciente y cada vez delimitada la función siempre es $0$?

Question

Deje $\,f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser infinitamente derivable la función que es creciente y acotada. Entonces, ¿es verdad que $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$?

Answer 1

No. Deje $h\colon\mathbb R\to\mathbb R$ ser una función suave con $h(x)>0$ $x\in(0,1)$ $h(x)=0$ lo contrario (un suave "bump"). A continuación, vamos a $$g(x)=\sum_{n=1}^\infty h(n^2(x-n))=\begin{cases}h(n^2(x-n))&\text{if }n\le x<n+1, n\in\mathbb N\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ Y deje $f(x)=\int_0^xg(t)\,\mathrm dt$. Entonces

• $f$ es suave, porque en cada intervalo acotado sólo finitely sumandos son cero
• $\lim_{x\to\infty}f'(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)$ no existe
• $f$ está aumentando debido a las $f'\ge 0$
• $f$ está delimitado por $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\int_0^1h(t)\,\mathrm dt<\infty$

Answer 2

Sugerencia: Una manera de ver esto es por el teorema Fundamental del Cálculo:

$$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx\ .$$

Como la función de $f$ está delimitado tenemos

$$\int_a^\infty f'(x) dx <\infty$$

Eso no implica que $f'$ tiende a $0$?

Answer 3

Sí, si el límite en $\infty$ existe; si este es el caso, entonces la $f$ va a ir a $\infty$. Dicen que el límite de$f'(x)$$x \rightarrow \infty=M>0$.

A continuación, en repetidas ocasiones se aplican al valor medio teorema, por lo que , para una selección de un número entero $n$ grande-suficiente, $$f(n+1)-f(n)= M(n+1-n)=M$$ . This can be done for $n+1, n+2,..$ , so that $$Lim _{n\rightarrow \infty }f(n)=\Sigma_{k=n}^{\infty} [ f(k+1)-f(k)] \rightarrow \infty$$