Estoy tratando de entender cómo los números complejos en QM. Podemos tener una teoría de la misma física sin números complejos? Si es así, es la teoría del uso de los números complejos más fácil?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La naturaleza de los números complejos en QM convertido en una reciente discusión, y me llamaron un estúpido hack para cuestionar su pertinencia. Principalmente por razones terapéuticas, escribí mi opinión sobre el tema:
Sobre el Papel de los Números Complejos en la Mecánica Cuántica
La motivación
Se ha afirmado que una de las características definitorias que separan el mundo cuántico desde el clásico es el uso de números complejos. Es dogma, y hay algo de verdad, pero no es toda la historia:
Mientras que los números complejos necesariamente a su vez como el primer ciudadano del mundo cuántico, voy a argumentar que nuestro viejo amigo de los reales no debe ser subestimado.
Una vista de ojo de pájaro de la mecánica cuántica
En la formulación algebraica, tenemos un conjunto de características observables de un sistema cuántico que viene con la estructura de un espacio vectorial real. Los estados de nuestro sistema puede ser observado como normalizado positivo (lo que necesariamente real) lineal funcionales en ese espacio.
En la función de onda la formulación de la ecuación de Schrödinger es manifiestamente complejo y actúa sobre el complejo de valores de funciones. Sin embargo, está escrito en términos de ordinario derivadas parciales de las variables reales y se separa en dos, junto reales de ecuaciones - la ecuación de continuidad para la probabilidad de amplitud y de Hamilton-Jacobi-escriba la ecuación para el ángulo de fase.
La manifiestamente verdadero modelo de 2-estado de los sistemas cuánticos es bien conocida.
Reales y complejas Formulación Algebraica
Echemos un vistazo a cómo terminamos con números complejos en la formulación algebraica:
Nos complejizar el espacio de características observables y convertirlo en un $C^*$-álgebra. A continuación, vamos adelante y representar por operadores lineales en un espacio de Hilbert complejo (GNS de la construcción).
Puro estados terminan como complejo de rayos, mixtos como la densidad de los operadores.
Sin embargo, esa no es la única manera de hacerlo:
Podemos dejar el espacio real ser real y dotarlo de la estructura de una Mentira-Jordan-Álgebra. A continuación, vamos adelante y representar por operadores lineales en un espacio de Hilbert (Hilbert-Schmidt construcción).
Ambos puros y mixtos de los estados va a terminar como real rayos. Mientras que los puros son necesariamente únicas, las mixtas, en general, no lo son.
La Razón de la Complejidad
Incluso en manifiestamente real formulaciones, la compleja estructura todavía está allí, pero en el disfraz:
Hay un 2-out-of-3 propiedad de conectar el grupo unitario $U(n)$ con el grupo ortogonal $O(2n)$, el simpléctica grupo $Sp(2n,\mathbb R)$ y el complejo lineal general de grupo $GL(n,\mathbb C)$:, Si dos de los tres últimos están presentes y compatible, podrás conseguir el tercero gratis.
Un ejemplo de esto es la Mentira-soporte y Jordania producto: Junto con la compatibilidad de la condición, estos son suficientes para reconstruir el asociativa del producto de la $C^*$-álgebra.
Otro ejemplo de esto es la Kähler estructura de la proyectivo complejo espacio de Hilbert tomado como un verdadero colector, que es lo que haces cuando retire el medidor de libertad a partir de su representación de estados puros:
Viene con un simpléctica producto en el que se especifica la dinámica a través de campos vectoriales Hamiltonianos, y una métrica de Riemann que le da probabilidades. Hacerlos compatibles y obtendrá un implícitamente definida por el casi-compleja estructura.
La mecánica cuántica es unitaria, con la estructura simpléctica ser responsable de la dinámica, la estructura ortogonal de ser responsable de las probabilidades y de la compleja estructura que conecta a estos dos. Puede realizarse en ambos reales y complejos espacios en los que razonablemente formas naturales, pero toda la estructura está necesariamente presente, incluso si no manifiestamente.
Conclusión
Es la preferencia por los espacios complejos sólo un accidente histórico? De verdad que no. La formulación de complejos es una simplificación de la estructura se empuja hacia abajo en el escalares de nuestra teoría, y hay una cierta elegancia con la unificación de las dos estructuras reales en un solo complejo.
Por otro lado, se podría argumentar que no tiene sentido mezclar estructuras responsables de distintas características de nuestra teoría de la dinámica y de las probabilidades), o que la introducción de la onu-observables a nuestro álgebra es un diseño de olor como, preferentemente, sólo debemos utilizar el interior de las operaciones.
Mientras que probablemente vamos a seguir haciendo la mecánica cuántica en términos de complejas realizaciones, se debe tener en cuenta que la teoría puede ser manifiestamente real. Este hecho no debe sorprender a nadie que se haya tomado la vista de ojo de pájaro en lugar de sólo mirar a través de las anteojeras de determinados formalismos.
heathrow
Puntos
25
Los números complejos en la mecánica cuántica son en su mayoría de un falso. Estos pueden ser reemplazados por todas partes por los números reales, pero es necesario tener dos wavefunctions para codificar las partes real e imaginaria. La razón es simplemente porque los valores propios de la evolución en el tiempo del operador $e^{iHt}$ son complejos, por lo que las partes real e imaginaria son degenerage pares que mezclar por rotación, y puede reetiquetar ellos usando yo.
La razón por la que sé que es falso es que no todos los físicos simetría respeta la estructura compleja. Inversión de tiempo cambia el signo de "yo". La operación de inversión de tiempo hace esto porque se está invirtiendo el sentido en el que las partes real e imaginaria de los vectores propios rotar en cada uno de los otros, pero sin invertir el signo de la energía (ya que una vez invertido el estado tiene la misma energía, no negativo de la energía).
Esta propiedad significa que el "yo" que ve en la mecánica cuántica puede ser pensado como una abreviatura de la matriz (0,1;-1,0), que es algebraicamente equivalentes, y entonces usted puede utilizar la real y la parte imaginaria wavefunctions. A continuación, inversión de tiempo es fácil de entender--- es una transformación ortogonal que se lleva a i a -i, por lo que no conmuta con me.
La forma correcta de preguntar "por qué yo" es preguntarse por el i operador, considerado como una matriz, conmuta con todos los físicos observables. En otras palabras, ¿por qué los estados se duplicó en la mecánica cuántica en indistinguibles de los pares. El motivo se puede utilizar como un c-número de la unidad imaginaria es porque no tiene esta propiedad. Por construcción, me conmuta con H, pero la pregunta es ¿por qué se deben de viajar con todo lo demás.
Una manera de entender esto es considerar dos finito dimensionales de los sistemas aislados Hamiltonianos $H_1$ y $H_2$, con una interacción de Hamilton $f(t)H_i$. Estos deben interactuar de tal manera que si se congela la interacción en cualquier momento, por lo que $f(t)$ se eleva a una constante y se queda allí, el resultado va a ser un significativo sistema cuántico, con un valor distinto de cero de energía. Si hay algún punto donde $H_i(t)$ no conmuta con el operador, habrá de energía de los estados que no pueden rotar en el tiempo, porque no tienen ningún socio de la misma energía para girar en. Dichos estados deben ser necesariamente de energía cero. El único estado de energía cero es el vacío, así que esto no es posible.
Usted conclusión de que toda la mezcla a través de un hamiltoniano de interacción entre dos sistemas cuánticos deben respetar el yo de la estructura, por lo que enredan los dos sistemas para hacer una medición en una igualmente enredarse con la de los dos estados que en conjunto hacen que el complejo estado.
Es posible truncar la mecánica cuántica (al menos por seguro que en un puro bosnic teoría con un real de Hamilton, que es, PT simétrica), de modo que el estado (y sólo el estado) tiene exactamente cero de la energía, y no tiene pareja. Para un bosonic sistema, la función de onda del estado fundamental es real y positivo, y si se ha de energía cero, que nunca se necesita el imaginario socio para mezclar con. Un truncamiento ocurre de manera natural en la continuación analítica de SUSY QM sistemas ininterrumpida SUSY.
Renaud Bompuis
Puntos
10330
Si no te gustan los números complejos, puede utilizar los pares de números reales (x,y). Usted puede "añadir" dos pares (x,y)+(z,w) = (x+z,y+w), y se puede "multiplicar" dos pares (x,y) * (z,w) = (xz-yw, xw+yz). (Si, no creo que la multiplicación se debe trabajar de esa manera, usted puede llamar a esta operación "shmultiplication" en su lugar.)
Ahora usted puede hacer cualquier cosa en la mecánica cuántica. Wavefunctions están representados por vectores, donde cada entrada es un par de números reales. (O se puede decir que wavefunctions están representados por un par de real vectores.) Los operadores están representados por matrices, donde cada entrada es un par de números reales, o, alternativamente, los operadores están representados por un par de real de las matrices. Shmultiplication se utiliza en muchas fórmulas. Etc. Etc.
Estoy seguro de que puede ver que estos son exactamente los mismos que los números complejos. (ver Lubos comentario: "un artificioso de la maquinaria, que imita el de los números complejos") son "números complejos para las personas que tienen problemas filosóficos con números complejos". Pero tendría más sentido para obtener más de los problemas filosóficos. :-)
Terry Bollinger
Puntos
11535
Frank, me permito sugerir la compra o pedir prestada una copia de Richard Feynman de la QED: La Extraña Teoría de la Luz y la Materia. O, usted puede ir directamente a la línea de Nueva Zelanda versión en video de las conferencias que dio lugar al libro.
En QED verá cómo Feynman prescinde de los números complejos en su totalidad, y en su lugar se describen las funciones de onda de los fotones (partículas de luz) como nada más que el reloj-como esferas que giran a medida que se mueven a través del espacio. En un libro-versión de la nota se menciona en el paso de "ah, por cierto, los números complejos son realmente buenas para representar la situación de esferas que giran a medida que se mueven a través del espacio," pero él evita deliberadamente hacer la equivalencia exacta que es tácito o al menos implícita en muchos libros de texto. Feynman es muy clara en un punto: Es la rotación de fase, como usted se mueve a través del espacio que es el más fundamentales de la física concepto para describir la mecánica cuántica, no el de los números complejos en sí mismos.[1]
Debo ser rápido en señalar que Feynman era no faltar al respeto a la extraordinaria utilidad de los números complejos para describir los fenómenos físicos. Lejos de ello! Fue fascinante, por ejemplo, por el complejo-plano de ecuación se conoce como la Identidad de Euler, $e^{i\pi} = -1$ (o, equivalentemente, $e^{i\pi} + 1 = 0$), y considerado uno de los más profundos ecuaciones en toda la matemática: ver a su Volumen 1, Capítulo 22 de "The Feynman Lectures en la Física.
Es sólo que Feynman en QED quiso destacar la notable sencillez conceptual de algunos de los conceptos más fundamentales de la física moderna. En QED por ejemplo, él va a usar su pequeño reloj de la marca para mostrar cómo , en principio, toda su método para predecir el comportamiento de la electrodinámica de los campos y de los sistemas se puede hacer uso de tal movimiento veloz.
Eso no es práctico, por supuesto, pero que nunca fue su momento en el primer lugar. Su mensaje en QED era más parecido a este: agárrate fuerte a la simplicidad cuando la simplicidad está disponible! Siempre se acumulan las cosas más complicadas de la sencillez, en lugar de la sustitución de la simplicidad a la complejidad. De esa manera, cuando usted ve algo horrible y aparentemente irresoluble, esa pequeña voz puede patear en y decir "yo sé que el simple principio de que he aprendido todavía tiene que ser en este lío, en algún lugar! Así que todo lo que tienes que hacer es encontrarlo, y todos los de este llamativo nieve blowy razzamatazz va a desaparecer!"
[1] Irónicamente, desde la física de marca tienen una particular forma simple de simetría circular en la que todas las posiciones de línea (fases) son absolutamente idénticos en todas las propiedades, se podría argumentar que dichos diales de proporcionar una más precisa de la forma de representar cuántica fase de números complejos. Eso es porque, como con la marca, un quantum de fase en un sistema real parece tener absolutamente nada único sobre él -- una "posición del disco" es tan buena como cualquier otra, tan larga como la de todas las fases de mantener las mismas posiciones relativas entre sí. En contraste, si el uso de un número complejo para representar un quantum de fase, hay una sutil asimetría estructural que se muestra si hacen ciertas operaciones tales como el cuadrado el número (de fase). Si usted hace que un número complejo, entonces por ejemplo la posición del reloj representado por $1$ (3pm) se mantiene en $1$, mientras que en contraste, la posición del reloj representado por $-1$ (9pm) se convierte en un $1$ (3pm). Esta no es la gran cosa en establecer correctamente una ecuación, pero que curioso pequeña asimetría es definitivamente no es parte de la física detectable cuántica fase. Así que en ese sentido, lo que representa una fase mediante el uso de un número complejo, añade un poco de matemática "ruido" que no está en el sistema físico.
Jean Delinez
Puntos
824
Deja que el viejo maestro de Dirac hablar:
"Uno podría pensar que uno podría medir un complejo dinámico de la variable la medición por separado de su real y lo imaginario puro partes. Pero esto sería involucrar a los dos mediciones o dos observaciones, que estaría bien en la mecánica clásica, pero no en la mecánica cuántica, donde dos observaciones en general interferir el uno con el otro - no es en general permisible para considerar que dos observaciones pueden ser hechas exactamente simultáneamente, y si están en rápida sucesión el primero se suele perturbar el estado del sistema y de introducir un la indeterminación que afectarán a la segunda". (P. A. M Dirac, Los principios de la mecánica cuántica, §10, pág.35)
Así que si tengo que interpretar Dirac derecho, el uso de números complejos ayuda a distinguir entre cantidades, que puede ser medido simultáneamente y el que no puede. Perderías esa característica, si usted quiere formular QM puramente con números reales.
