¿Cómo podemos demostrar que $\DeclareMathOperator\Hom{Hom}\mathbb Z/n\mathbb Z\bigotimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/m\mathbb Z \cong \Hom(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Z/m\mathbb Z)$ sin usar el hecho de que $\mathbb Z/n\mathbb Z\bigotimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/m\mathbb Z \cong \mathbb Z/d \mathbb Z$ $\Hom(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Z/m\mathbb Z)\cong \mathbb Z/d \mathbb Z$ donde $d=$ MCD$(m,n)$? No es demasiado difícil de probar las dos últimas isomorphisms pero sería interesante que se derivan una de la otra, utilizando la primera isomorfismo.
Respuesta
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Considerar la breve secuencia exacta $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{n} \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\to 0$, donde el mapa $\mathbb{Z}\xrightarrow{n}\mathbb{Z}$ es la multiplicación por $n$. La aplicación de los functors $-\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/m$ ${\rm Hom}(-,\mathbb{Z}/m)$ a él le da los dos exacta secuencias: $$ \mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}\mathbb{Z}/m\to \mathbb{Z}/n\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/m\0\\ 0\{\rm Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n,\mathbb{Z}/m)\to \mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}\mathbb{Z}/m $$ mostrando que $\mathbb{Z}/n\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/m$ es el cokernel de $\mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}\mathbb{Z}/m$ y ${\rm Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n,\mathbb{Z}/m)$ es el núcleo de la misma mapa: $\mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}\mathbb{Z}/m$. El núcleo y cokernel son cíclicos abelian grupos, por lo que es suficiente para mostrar que tienen la misma cardinalidad. Para la integridad:
Deje $d$ ser el tamaño de la cokernel, y $e = |{\rm im}(n)|$, el tamaño de la imagen de $\mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}\mathbb{Z}/m$. Entonces, por definición, $m/e = d$. Por otro lado, la corta secuencia exacta $0\to \ker(n)\to \mathbb{Z}/m\xrightarrow{n}{\rm im}(n)\to 0$ muestra también que $m/|\ker(n)| = e$, de donde $d = m/e = |\ker(n)|$.
Por supuesto, con un poco más de trabajo, a continuación, puede probar el máximo común divisor declaración, tanto ahora.
