Hoy me fue tocar el violín alrededor con una TI-89 calculadora, intentando, como siempre lo confunden. Me imaginé que lo que es resolver una ecuación con una función periódica sería divertido, así que he intentado lo siguiente:
$$\cos(\pi x) + x^2 = 0$$
Mientras esto no muñón, me señaló que la solución que se dio fue sólo un decimal. Desde que me encontré con esto a través de resolver(), que generalmente le dará una buena solución como $\frac{\sqrt{2}}{2}$ si se puede, me pareció bastante interesante. Me imaginé lo que finalmente hizo fue dar seguimiento a la solución en su forma habitual y pasar a un método numérico: es decir, simplemente predicciones inteligentes hasta encontrar buenas soluciones.
Normalmente me inclino a pensar que la mayoría de azar decimales tienen una forma cerrada expresión detrás de ellos. (De hecho, todos esos decimales tienen una forma cerrada, incluso si no lo sabemos? Voy a tener que ver en que.) Como tal, he decidido poner esto en Wolfram|Alpha y ver si tenía alguna mejores resultados. Pero no dice; me dio la espalda, similar a las de la TI-89, que $x = \pm 1$ $x \approx \pm 0.629847$ eran soluciones.
El último decimal, $x \approx 0.629847$, es el que me ocupa. Como que a mí respecta, $x = \pm 1$ son una especie de "trivial" soluciones; solo de pensar en el problema sobre la que conduce a ellos de forma natural.
Es allí una manera de resolver este algebraicamente? Que se puede clasificar de reducirlo. Yo sé que como $x \to \infty$, $\cos(\pi x)$ plazo es esencialmente trivial en comparación a $x^2$. Dado que el $x^2>0$ cualquier $x \ne 0$, y dado que el $\cos(\pi x)$ tiene un rango de $[-1, 1]$, a mí me parece que cada vez $x^2>1$, $\cos(\pi x)$ no tire hacia abajo de la $x^2$ suficiente para que se convierta en cero.
Por lo tanto, parece natural que yo pienso, entonces, que todas las soluciones deben encontrarse donde $x^2 \le 1$, viz., dentro del intervalo de $[-1, 1]$. Esto reduce el campo significativamente, pero todavía no se realmente que me ayude con una solución algebraica. (Sin embargo, me imagino que si me fuera a venir a través de este en un escenario real, esto sería una utilidad de la línea de ataque para una conjetura-y-prueba tipo de trato.)
Otra línea de ataque que intentó fue a tomar el enfoque contrario: el uso de la numéricamente alcanzado la solución para encontrar una forma cerrada de la solución. Pensé que puede ser un interesante número de yo simplemente no había aprendido, así que traté de buscar la secuencia decimal en la OEIS, pero sin suerte: no existe secuencia estaba disponible.
Me he paseado, así que aquí están mis preguntas:
- Hay una solución algebraica de la ecuación anterior?
- Incluso si no hay, ¿hay alguna manera de averiguar la forma cerrada de la expresión detrás de la coma decimal $x = 0.629847$? Ni siquiera me importa si la expresión ha $\cos$ o $\sin$.
Voy a ser honesto: yo realmente no sé ni por dónde empezar.
