$\{1, 2, . . . , 49\}$ se reparte en $3$ subconjuntos. Demostrar que al menos $1$ de ellos contiene $3$ diferentes números de $a,b,c$ tal que $a+b=c$

Question

Como dice el título, me piden demostrar que al menos uno de los subconjuntos contiene tres diferentes números de $a, b$ y c tales que a $a + b = c$. He intentado probarlo pero es más difícil de lo que inicialmente parecía ser. Cómo lo harías?

Edit: El conjunto original es arbitrariamente dividida.

Edit2: El ejercicio se dio en un primer año Matemática Discreta curso. Estoy bastante seguro de que nos quieren usar de algún modo el principio del palomar.

Answer 1

Informal de la prueba con la contradicción:

Suponga que no hay tal subconjunto.

Por el principio del palomar, debe ser un subconjunto (de los tres), decir $A$, tiene al menos $17$ elementos, decir $a_1<a_2<...<a_{17}$. Formulario de asunción sabemos si la diferencia $a_{17}-a_i \neq a_i$, $i=1,2,...,16$, entonces no va a pertenecer a $A$. No puede haber más de una $i$ s.t. $a_{17}-a_i=a_i$.

Entonces, por el principio del palomar, uno de los dos subconjuntos, decir $B$, debe tener al menos $8$ de esas diferencias $a_{17}-a_i$ que no están en $A$, decir $b_1<b_2<...<b_8$, y del mismo modo, si la diferencia $b_8-b_j \neq b_j$, $j=1,2,...,7$, entonces no va a pertenecer a $B$. No puede haber más de una $j$ s.t. $b_8-b_j=b_j$.

Para cualquier $j$ no ser $j' \neq j$ que $b_{j'}-b_j \in A$. Si hubo uno, a continuación,$b_j=a_{17}-a_{i'}$$b_j=a_{17}-a_i$, $(a_{17}-a_{i'})-(a_{17}-a_i)=a_i-a_{i'} \in A$ donde $i \neq i'$, una contradicción.

Así que los $8$ (o $7$) diferencias deben estar en el último subconjunto, decir $C$. Podemos clasificarlas y denotar ellos por $c_1<c_2<...<c_7$ (o $c_8$). Pero de manera similar, sólo que en la mayoría de uno de sus diferencias $c_8-c_k$ (o $c_7-c_k$) se encuentran en el $C$. Los otros no están en $B$. Mientras que Si $c_8-c_k \in A$ entonces no es $b_j-b_{j'} \in A$, y esto es imposible, por lo tanto, no están en $A$.

Esto se contradice con el hecho de que $A$, $B$ y $C$ consta de una partición.