Acotamiento de funciones continuas no lineales

Question

Sea $K$ sea la bola unitaria cerrada de $C[0,1]$ y que $f$ en $C(K,\mathbb{\, R})$ . ¿Es cierto que existe un subespacio reflexivo de dimensión infinita $E$ de $C[0,1]$ s.t. $f(K\cap E)$ ¿está limitada?

Si la respuesta es afirmativa, se trataría de un teorema muy débil del tipo Weierstrass [y también uno muy general, debido a la "universalidad" de $C[0,1]$ (es decir, el teorema de incrustación de Banach-Mazur)].

---

También se puede sustituir $C[0,1]$ por $B[0,1]$ el espacio de todos funciones acotadas en $[0,1]$ , dotado de la sup-norma.

Answer 1

Ady, creo que hay un contraejemplo a tu pregunta. Para describirlo $(V_n)$ sea una base de $[0,1]$ consistente en de conjuntos abiertos no empíricos; $K$ representa la bola unitaria cerrada de $C[0,1]$ . Para cada $n$ deje $C_n$ sea el cierre de $V_n$ y definir

$U_n={g \in K: \min{|g(t)|:t \in C_n} > \|g\| - 1/4}$

donde $\|g\|=\sup{|g(t)|:t \in [0,1]}$ .

La familia $(U_n)$ es una cubierta abierta de $K$ . Sea $(F_m)$ sea una partición de la unidad subordinada a $(U_n)$ . Para cada m $n_m$ sea el menor número entero $n$ tal que $\sup(F_m)={g \in K: F_m(g)>0}$ se encuentra en $U_n$ .

Ahora defina $F:K\to \mathbb{R}$ por

$F(g)= \sum_{m=1}^{\infty} n_m\cdot F_m(g)$

Obsérvese que F está bien definido y es continuo.

Por último, observe que $F(K\cap E)$ es ilimitado para todo subespacio E de dimensión infinita de $C[0,1]$ . Esto se deduce del siguiente hecho: para cada entero i y todo subespacio infidimensional $E$ de $C[0,1]$ existe un vector de norma uno $e \in E$ tal $e$ NO está en $U_n$ para cada $n < i$ (y por lo tanto, si $m$ es tal que $F_m(e)>0$ entonces necesariamente $n_m$ es mayor o igual que $i$ lo que da que $F(e)$ es también mayor o igual que $i$ ).

Answer 2

En primer lugar, permítanme dar los detalles para $\ell_\infty(\aleph_0)$ ; $K$ representa la bola unitaria cerrada de $\ell_\infty(\aleph_0)$ . Para cada $n$ deje $U_n=\{ x\in K: |x(n)| > 1/4 - \|x\| \}$ . La familia $(U_n)$ es una cubierta abierta de $K$ . Sea $(F_m)$ sea una partición de la unidad subordinada a $(U_n)$ . Para cada $m$ deje $n_m$ sea el menor número entero $m$ tal que $supp(F_m)$ se encuentra en $U_n$ y definir $$F(x)=\sum_m n_m \cdot F_m(x)$$ . Entonces, utilizando los argumentos anteriores, se puede demostrar que $F(K\cap E)$ es ilimitado para cada subespacio infinito-dimensional $E$ de $\ell_\infty(\aleph_0)$ .

En segundo lugar, permítanme señalar que mi argumento a favor de $\ell_\infty(\kappa)$ con $\kappa$ medible no es correcto; pido disculpas por ello (tengo una observación al final). Lo que puedo demostrar es que para cada $\kappa$ (incluso medible) existe una función continua $F:K_0\to\mathbb{R}$ donde $K_0$ es la bola unitaria cerrada de $c_0(\kappa)$ , tal que $F(K_0\cap E)$ es ilimitada para cada dimensión infinita infinito $E$ de $c_0(\kappa)$ . El argumento es una variación del anterior. Para cada par de racionales $0 < a < b < 1/4$ deje $U_{a,b}$ sea el conjunto de todos los $x\in c_0(\kappa)$ tal que para cada $t\in\kappa$ o bien $|x(t)| < a$ o $|x(t)| > b$ . Observe que $U_{a,b}$ está abierto en $K_0$ y para cada $x\in K_0$ existe un par $(a,b)$ tal que $x\in U_{a,b}$ . Ahora para cada $n$ (incluido el cero) y cada par $0 < a < b < 1/4$ deje $U_{a,b,n}$ sea el conjunto de todos los $x\in U_{a,b}$ para cuya cardinalidad del conjunto $\{t: |x(t)| > b\}$ es $n$ . La familia $(U_{a,b,n})$ es un cubierta abierta de $K_0$ . Sea $(F_i) (i\in I)$ sea una partición de unidad subordinada a un refinamiento localmente finito de $(U_a,b,n)$ . Para cada $i\in I$ configure $L_i=\{n: there exist 0 < a < b < 1/4 s.t. supp(F_i) is contained in U_{a,b,n}\}$ y que $n_i$ sea el menor elemento de $L_i$ . Ahora defina $F:K_0\to\mathbb{R}$ por $$F(x)=\sum_i n_i \cdot F_i(x)$$ . Es continuo.

Ahora comprobamos que $F(K_0\cap E)$ es ilimitada para cada dimensión infinita infinito $E$ de $c_0(\kappa)$ . Así que $E$ serlo. Dado que $c_0(\kappa)$ es hereditariamente $c_0$ por James, podemos encontrar una secuencia normalizada $(e_n)$ en $E$ que a $2$ -equivalente a la base vectorial unitaria estándar de $c_0$ (en particular, $(e_n)$ es débilmente nulo). Fijar un número entero $M$ . Podemos seleccionar recursivamente una secuencia $(n_k)$ en $\mathbb{N}$ tal que para todo $k < m$ los conjuntos $\{t: |e_{n_k}(t)| > 1/4M\}$ y $\{t: |e_{n_m}(t)| > 1/4M\}$ son disjuntos. Consideremos que el vector $e= \sum_{k=1}^M e_{n_k}$ . Obsérvese, en primer lugar, que $1/2\leq \|e\| \leq 2$ . Observe también que el conjunto $\{t: |e(t)|\geq 3/4\}$ tiene una cardinalidad mínima de $M$ . Normalicemos $e$ y denotamos el vector normalizado por $v$ . El conjunto $\{ t: |v(t)| \geq 3/8 \}$ tiene una cardinalidad mínima de $M$ . Sea $i\in I$ sea tal que $F_i(v)>0$ . Sea $0 < a < b < 1/4$ y $n$ ser arbitrario tal que $supp(F_i)$ se encuentra en $U_{a,b,n}$ . Obsérvese que el conjunto $\{t: |v(t)| \geq 3/8\}$ está contenido en el conjunto $\{t: |v(t)|> b\}$ , y por tanto, la cardinalidad del conjunto $\{t: |v(t)| > b\}$ es como mínimo $M$ . De ello se deduce que $n_i\geq M$ dando como resultado que $F(v)\geq M$ .

Answer 3

Existe un contraejemplo más sencillo para el $C[0,1]$ caso. A saber, $f(x):=$ $\log\left(1-\left\Vert x\right\Vert _{\infty}+\left\Vert Vx\right\Vert _{\infty}\right)$

donde $V$ es el operador clásico de Volterra que actúa sobre $C[0,1]$ .

Answer 4

Ady, no tengo una respuesta a la nueva versión de su pregunta, pero permítanme hacer algunas observaciones que pueden ser útiles.

La nueva versión es acerca de la no-lineal con un valor real funciones continuas en $\ell_\infty(\Gamma)$ donde $\Gamma$ tiene la cardinalidad del continuo. Esto puede ser un poco generalizada de la siguiente manera:

Deje $\kappa$ ser un infinito cardenal y establecer $K$ la bola unidad cerrada de $\ell_\infty(\kappa)$. Vamos $f:K\to\mathbb{R}$ ser un mapa continuo. No existen un infinito-dimensional subespacio $E$ $\ell_\infty(\kappa)$ tal que $f(K\cap E)$ es limitada?

Si $\kappa=\aleph_0$, luego un contraejemplo puede ser construida.

Por otro lado, si $\kappa$ es un cardinal medible, entonces existe un subespacio $E$ $\ell_\infty(\kappa)$ que es isomorfo a $c_0(\kappa)$ que $f(K\cap E)$ está acotada. El argumento vuelve a Ketonen. Deje $FIN(\kappa)$ ser el conjunto de todos los no-vacío finito los subconjuntos de a $kappa$ y definir una coloración $c:FIN(\kappa)\to\mathbb{N}$ de la siguiente manera. Deje $c(F)$ $n$ si $n$ es el menor entero $m$ tal que

$ \max\{ |f(x)|: x\in span\{e_t: t\in F\} and x\in K \} \leq m $

donde $e_t$ es de dirac de la función en $t$. Observe que $c$ está bien definido. Existen $n_0\in\mathbb{N}$ y un subconjunto $A$ $\kappa$ $|A|=\kappa$ y de tal manera que $c$ es constante en $FIN(A)$ e igual a $n_0$. Si establecemos $E$ el cerrado lineal lapso de $\{e_t: t\in A\}$, $E$ es isomorfo a $c_0(\kappa)$ $F(K\cap E)$ está en el intervalo de $[-n_0, n_0]$.

Respecto de la continuidad: es posible que el conjunto de la teoría de problemas. En primer lugar, permítanme recordar que es consistente que el de la continuidad es un valor real medibles (R. M. Solovay). Por otro lado, si CH se mantiene, entonces hay pesada (y bastante avanzada) maquinaria para `matar" a varios Ramsey propiedades en $\omega_1$ (en gran parte debido a la S. Todorcevic).

---

Una rápida observación: existe una no-lineal continuo mapa de $f:K\to\mathbb{R}$, donde $K$ es la bola unidad cerrada de $c_0(\kappa)$ $\kappa$ es el continuo, tal que para cada infinito-dimensional subespacio $E$ $c_0(\kappa)$ el conjunto $f(K\cap E)$ es ilimitado.