Memoryless de la propiedad y de la distribución geométrica

Question

Supongamos $X$ es una variable aleatoria toma valores en $\mathbb N_0$ con el memoryless de la propiedad,es decir, para cada par de números $s,t \in \mathbb N$, $$P(X\geq s+t\mid X>t)=P(X\geq s)$$

Demostrar que una variable aleatoria $X$ con valores en $\mathbb N_0$ tiene el memoryless propiedad si y sólo si $X \sim \text{Geometric}(p)$ de parámetro $p=P(X=1)$.

Yo podría mostrar que si $X \sim \text{Geometric}(p)$ (para un parámetro arbitrario $p$), $X$ tiene el memoryless de la propiedad. Voy a escribir que parte de la respuesta:

$$P(X\geq s)=\sum_{i=s}^{\infty} P(X=i)$$$$=\sum_{i=s}^{\infty} (1-p)^{i-1}p$$$$=\sum_{i=0}^{\infty} (1-p)^{i-1}p-\sum_{i=0}^{s-1}(1-p)^{i-1}p$$$$=\frac{p}{1-p}(\frac{1}{1-(1-p)}-\frac{1-(1-p)^s}{1-(1-p)})$$$$=(1-p)^{s-1}.$$

Del mismo modo, $$P(X\geq s+t\mid X>t)=\dfrac{P((X\geq s+t)\cap (X>t))}{P(X>t)}$$$$=\dfrac{P(X\geq s+t)}{P(X>t)}.$$ After calculating the probability of the numerator and the probability of the denominator, one can arrive to the same expression $$\dfrac{P(X\geq s+t)}{P(X>t)}=(1-p)^{s-1}.$$

Así que de aquí se deduce que la geometría variable aleatoria tiene la memoryless de la propiedad.

Me quedé atrapado tratando de mostrar la otra implicación:

Deje $s \in \mathbb N, t=1$, vamos a $E=\{X>1\}$, $$P(X\geq k+1)=P(X \geq k+1\mid X>1)P(X>1)+P(X\geq k+1 \mid X \leq 1)P(X \leq 1).$$

Dado que la probabilidad de $P(X\geq k+1 \mid X \leq 1)=0$, $$P(X\geq k+1)=P(X \geq k+1\mid X>1)P(X>1)$$

El uso de la hipótesis, se ha $$P(X \geq k+1)=P(X \geq k+1\mid X>1)P(X>1)=P(X \geq k)P(X>1)$$

Me quedé atrapado en ese punto, quiero concluir que $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ donde $p=P(X=1)$.

Agradecería un poco de ayuda.

Answer 1

Tenemos $$P(X\geq s+t\mid X>t)=P(X\geq s)$$ y $$P(X\geq s+t\mid X>t)=\dfrac{P(X\geq s+t)}{P(X>t)}$$ por lo tanto,$$P(X\geq s+t)=P(X\geq s)P(X>t).$$ Sumar la última igualdad, una vez más de $s$, a continuación, una vez más $t$ obtenemos $$I: \sum_{s=1}^{\infty}P(X\geq s+t)=\sum_{s=1}^{\infty}P(X\geq s)P(X>t)$$ $$II: \sum_{t=1}^{\infty}P(X\geq s+t)=\sum_{t=1}^{\infty}P(X\geq s)P(X>t)$$ Ahora en $I$$t=k$, y establecer$s=k$$II$, de modo que su lado izquierdo sea igual y, en consecuencia, $$P(X\geq k)\sum_{t=2}^{\infty}P(X\geq t)=P(X\geq k+1)\sum_{t=1}^{\infty}P(X\geq t).$$ Now let $\alpha=\sum_{t=2}^{\infty}P(X\geq t)$ and evaluate for $k=1$ to obtain, $$\alpha=\frac{1-p}{p},$$where $p=P(X=1).$ Therefore $(1-p)P(X\geq k)=P(X\geq k+1)$. Since $P(X\geq 1)=1$ we have that $$P(X\geq k)=(1-p)^{k-1}; k=1,2,...$$ implying that $$P(X=k)=(1-p)^{k-1}-(1-p)^{k}=p(1-p)^{k-1}.$$Therefore $X\sim$ Geometric$(p)$.