¿Cómo se puede demostrar que $\sqrt[3] 2 + \sqrt[3] 4$ es irracional?

Question

Mientras hacía toda clase de demostraciones y refutaciones sobre números irracionales, me encontré con esta y realmente me dejó perplejo:

Demuestra que $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ es irracional.

Intenté con todos los sospechosos habituales, como jugar con $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = \frac{a}{b}$ para $a, b \in \mathbb{Z}$, pero no llegué a ningún lado.

También pensé que quizás debería jugar de esta manera:

$2^\frac{1}{3} + 4^\frac{1}{3} = 2^\frac{1}{3} + (2^2)^\frac{1}{3} = 2^\frac{1}{3} + 2^\frac{2}{3} = 2^\frac{1}{3} + 2^\frac{1}{3} \times 2^\frac{1}{3} = 2^\frac{1}{3}(1 + 2^\frac{1}{3})$

Pero ahí me volví a atascar, porque aunque $1 + 2^\frac{1}{3}$ es irracional, nada me garantiza que $2^\frac{1}{3} \times (1 + 2^\frac{1}{3})$ sea irracional, y siento que intentar seguir por este camino es inútil.

Entonces, ¿qué es lo que me falta (aparte de dormir y comer)? ¿Qué camino debo tomar para demostrar esto? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Nota

$$1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = \frac{(\sqrt[3]{2})^3 - 1}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}.$$

Entonces, si $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ es racional, entonces $1/(\sqrt[3]{2} - 1)$ es racional, lo que implica que $\sqrt[3]{2} - 1$ es racional. Entonces $\sqrt[3]{2}$ es racional, una contradicción.

Answer 2

$y = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ es una raíz de la ecuación $y^3 - 6y - 6 = 0$.

(Para ver esto, sea $x = \sqrt[3]{2}$ e $y = \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=x+x^2$. Entonces $y^3 = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6 = 2 + 6x + 6x^2 + 4 = 6 + 6y.)

Por el teorema de la raíz racional, sabemos que cualquier raíz racional de $y^3 - 6y - 6 = 0$ tendría que estar en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$; rápidamente podemos confirmar que ninguno de estos es de hecho una raíz, lo que significa que la ecuación no tiene raíces racionales.

Por lo tanto, $y$ debe ser irracional.

Answer 3

Un enfoque fácil: Si $p=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ es racional:

$$p^2 = \sqrt[3]{4}+2\cdot 2+ 2\sqrt[3]{2} = p+4+\sqrt[3]{2}.$$

Entonces $\sqrt[3]{2}=p^2-p-4$ sería racional.

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Un enfoque alternativo, más general.

Afirmación: Si $a,b$ son enteros que no son cubos perfectos, y $a\neq -b$, entonces $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ es irracional.

Prueba:

Supongamos que $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ es racional. Cúbrelo y obtén:

$$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^3 = a+ 3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}) + b$$

Ahora, dado que $a,b$ son racionales y $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ es distinto de cero y racional, esto significa que $\sqrt[3]{ab}$ es racional.

Tomando $p=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ y $q=\sqrt[3]{ab}$, esto significa que

$$(x-\sqrt[3]{a})(x-\sqrt[3]{b}) = x^2-px+q$$ es un polinomio racional. Comparte al menos una raíz con $x^3-b$, pero el MCD de estos dos polinomios tiene que ser un polinomio racional, por lo que el MCD no puede ser lineal (ya que sería $x-\sqrt[3]b$, que no es un polinomio racional.)

Esto significa que $x^2-px+q$ tiene que dividir a $x^3-b$. Eso significa que $\sqrt[3]{a}$ es una raíz de $x^3-b$, lo que significa que $a=b$. Pero no hay raíces repetidas de $x^3-b$, lo que lleva a una contradicción.

Corolario: Si $a,b$ son racionales tales que $a\neq -b$ y $\sqrt[3]{a}$ y $\sqrt[3]{b}$ son irracionales, entonces $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ es irracional.

Prueba: Racionaliza los denominadores y vuelve al teorema anterior para enteros.

Answer 4

Aquí hay otro enfoque que se generaliza a muchos ejemplos similares, y que no implica complicadas simplificaciones de raíces cuadradas. (De hecho, tampoco simplificaciones fáciles de raíces cuadradas.)

Primero, $\sqrt[3]{2}$ es un entero algebraico, es decir, es una raíz de $$x^3-2$$ que es un polinomio mónico (coeficiente principal $1$) con coeficientes enteros. De manera similar, $\sqrt[3]{4}$ es un entero algebraico.

Se sabe que la suma de dos enteros algebraicos es un entero algebraico. Por lo tanto, $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ es un entero algebraico.

También se sabe que si un entero algebraico es racional, entonces es un entero racional, es decir, un entero ordinario, $0,1,-1,2,-2$, etc. Sin embargo, no es difícil encontrar las estimaciones $$1<\sqrt[3]{2}<\frac{4}{3},\quad \frac{4}{3}<\sqrt[3]{4}<\frac{5}{3};$$ así que $\frac{7}{3}

Answer 5

Es cierto para cualquier $ $ irracional $\,x=\sqrt[3]n,\,$ excepto $\,n=1\,$ (entonces $\,x^2+x=-1\in\Bbb Q)$

Más generalmente: $ $ si $\ r\in\Bbb Q\ $ y $\,x=\sqrt[3]r\not\in\Bbb Q\,$ entonces $\,x^2+x = q\in\Bbb Q\iff r = 1.

Prueba $\,\ qx = x^3+x^2 = r+x^2\ $ entonces $\ qx-r = x^2 = q-x,\ $ por lo tanto $\,(\color{#c00}{q\!+\!1})\,x = r+q.

Por lo tanto $\,\ x\not\in\Bbb Q\,\Rightarrow\,\color{#c00}{q = -1}\,\Rightarrow\, 0 = (\color{#c00}{q\!+\!1})x = r+q = r-1,\ $ entonces $\,\ r = 1.