La violación de la invariancia de Lorentz (Lagrangiano de partículas)

Question

Estoy tratando de conseguir el relativista de acción (o de Lagrange) para una partícula libre en el caso de violación de Lorenz invariancia. Supongamos que tenemos la modificación de la relación de dispersión:

$$ E^{2}=\Omega^{2}(p^{2}) $$

Aquí $E$ $p$ - energía y el momentum de la partícula, $\Omega^{2}$ es una función que toma la forma $\Omega^{2}(p^{2})=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$ si tenemos la invariancia de Lorentz.

En otras palabras, tenemos la ecuación $$ \left(v\frac{\partial L}{\partial v}-L\right)^{2}=\Omega^{2}\left(\left[\frac{\partial L}{\partial v}\right)^{2}\right) $$

Queremos definir el Lagrangiano.

Por ejemplo, si $E^{2}=m^{2}+(1+\xi)p^2$, podemos obtener(más allá de $\tilde{v}=v(1+\xi)^{-1/2}$, se presenta la ecuación anterior escrito a la norma relativista forma, por encima de la cual sabemos todo): $$ L=-m\sqrt{1-\frac{v^{2}}{1+\xi}} $$

Quiero encontrar de lagrange y de acción para el siguiente caso:

$$ E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}+\frac{p^{4}}{M^{2}} $$

Aquí $M\gg m$.

Por lo tanto, tenemos la ecuación:

$$ \left(v\frac{\partial L}{\partial v}-L\right)^{2}=\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right)^{2}c^{2}+\frac{1}{M^{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right)^{4}+m^{2}c^{4} $$

-Traté de encontrar la solución de la siguiente manera:

$L(v)=L_{0}+L_{1}v$, donde ${{ L_0}}^{2}={{ L_1}}^{2}{c}^{2}+{\dfrac {{{ L_1}}^{4}}{{M} ^{2}}}+{m}^{2}{c}^{4}$, and $|L_0| \ge mc^2$. Me puse en la ecuación original, pero no dan resultados significativos.

• Entonces me he encontrado con el siguiente artículo: http://arxiv.org/abs/1209.0464 (arxiv: 1209.0464)

Aquí (páginas $6$-$7$) que la obtención de la Lagrangiana para el caso que he descrito anteriormente, y dicen que en el caso general de Lagrange se puede definir como (ecuación de $18$) $$ L=-m\sqrt{1-v^{2}}F\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}\right) $$

Traté de encontrar una solución en este formulario (sustituyendo en la ecuación), pero no tuve éxito.

Me pueden ayudar a obtener de Lagrange (acción) por la relación que escribí? También sería genial si usted dio el útil de referencias dedicadas al tema (por ejemplo, donde obtienen Lagrangians, etc)

Answer 1

En los problemas mecánicos en donde el Hamiltoniano no depende explícitamente en el tiempo, entonces el Hamiltoniano es igual a la energía total $H = E$. Estos problemas pueden ser resueltos mediante el (inversa) de Legendre de transformación, que permite el cálculo de la Lagrangiana de la Hamiltoniana, sin la necesidad de resolver una ecuación diferencial.

El Lagrangiano puede ser calculada a partir de la Hamiltoniana $H = E$ como sigue:

La velocidad está dada por la ecuación de Hamilton de movimiento (en este caso $c=1$):

$v = \dot{x} = \frac{\partial E}{\partial p} =\frac{p+\frac{2p^3}{M^2}}{\sqrt{p^2+m^2+ \frac{p^4}{M^2}}}$

El Lagrangiano es dado por la (inversa) de transformación de Legendre

$ L = p\dot{x}-H = pv-E = \frac{-m^2+\frac{p^4}{M^2}}{\sqrt{p^2+m^2+ \frac{p^4}{M^2}}}$

El único problema restante es para expresar el Lagrangiano como una función de la $v$. Ahora, $p$ se da implícitamente en términos de $v$ en el Hamilton ecuación de movimiento. En el caso especial en la mano, esta ecuación se puede resolver de forma cerrada porque es de tercer grado en $p^2$:

$ 4 \frac{(p^2)^3}{M^4} + 4 \frac{(p^2)^2}{M^2} +p^2(1-v^2) - m^2v^2=0$

Ahora, por favor, consulte la siguiente página de la wikipedia, de la forma exacta de la solución, que es engorroso y no se da aquí. Por otra parte, uno debe ser cuidadoso en la selección correcta de la raíz, la cual dependerá de los valores de $\frac{m^2}{M^2}$ $\frac{p^2}{m^2}$ .

En la siguiente una solución aproximada será dado para el caso de $p^2\ll M^2$$m^2\ll M^2$. En este caso sustituimos:

$ p^2 = m^2\frac{v^2}{1-v^2} + \frac{\delta }{M^2}$

Por favor, observe que el primer término es la solución exacta del caso $M^2 \rightarrow \infty$.

Sustituyendo esta solución en la ecuación de Hamilton y mantener sólo el líder en términos de $\frac{1}{M^2}$, podemos obtener la solución aproximada:

$ p^2 = m^2\frac{v^2}{1-v^2} + \frac{m^4 v^4}{M^2(1-v^2)3}$

Que puede ser sustituido en el Lagrangiano

Answer 2

En el artículo citado que llegar a su forma de Lagrange de la acción

$$S_{pp}=-m\int ds\,F(u_\mu v^\mu),$$ where F is an arbitrary function with $F(1)=1.$ We get to the desired form by changing to a frame of reference where $u_0=1$ and $u_i=0$. Con las relaciones

$$d\tau=ds=\sqrt{1-v^2}dt$$

y

$$v^0=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}},$$

donde $v^2=v^iv^i,$ llegamos a

$$S_{pp}=\int dt\,L_{pp},$$

con

$$L_{pp}=-m\sqrt{1-v^2}F\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\right).$$