Fijaciones del esqueleto del cubo

Question

Imagina que tienes un esqueleto cúbico, así:

Imagina además que tienes tres gomas elásticas que puedes pasar por cualquiera de las caras. Sin embargo, sólo una goma puede pasar por una cara en particular en cualquier momento. Además, las 6 caras deben estar ocupadas, aunque se puede utilizar cualquier número de gomas. He encontrado 16 soluciones, sin contar las reflexiones y rotaciones.

Bueno... ¿he conseguido todas las soluciones? Además, ¿cómo podría hacer esto de forma analítica, preferiblemente con la teoría de grafos?

Answer 1

En general, necesitamos combinar dos coincidencias perfectas en las caras, una para el interior y otra para el exterior. Para el cubo en particular, tenemos sólo 6 caras, y cada una de las tres aristas de una combinación perfecta conecta caras adyacentes u opuestas. Puede haber 0, 1 o 3 pares de caras opuestas emparejadas.

number of matched opposite faces

                   inside
              3      1          0
         3   3a     [1]        [1]        [n] means that n configurations
outside  1   4b   3b,4a,7a    7b,8b           are missing from the pics
         0   6b    1b,6a   2a,5a,1a,5b

(btw, note that pic 2b is not valid, and 7a=8a reflected)

Así que estoy de acuerdo en que hay 16 soluciones. Pero cada uno de los 9 casos de la tabla anterior requería algún razonamiento geométrico, así que probemos también el enfoque de descomposición de ciclos para ver si es más manejable.

Como se ha descrito en los comentarios anteriores, una disposición de bandas elásticas equivale a una descomposición de las caras en ciclos de longitud par, donde el ciclo es la secuencia de caras tomadas por la banda elástica orientada de forma que entra en el poliedro a través de la primera cara (según algún ordenamiento fijo de las caras) del ciclo, y luego alternativamente sale y entra durante el resto del ciclo.

Puede haber 1 ciclo de longitud 6, o 1 de longitud 4 y uno de longitud 2, o 3 de longitud 2.

1 cycle of length 6:
    (top, bottom, front, back, left, right)          6b
    (top, bottom, front, left, back, right)          6a
    (top, bottom, front, left, right, back)          7a
    (top, front, bottom, back, left, right)          6a again
    (top, front, bottom, left, back, right)          5b
    (top, front, bottom, left, right, back)          8b
    (top, front, back, bottom, left, right)          7a again
    (top, front, back, left, bottom, right)          8b again
    (top, front, back, left, right, bottom)          2nd missing case
    (top, front, left, bottom, back, right)          5a
    (top, front, left, back, bottom, right)          5b again
    (top, front, left, back, right, bottom)          8b again again
    (top, front, left, bottom, right, back)          5b again again
    (top, front, left, right, bottom, back)          6a again again
    (top, front, left, right, back, bottom)          7a again again
1 cycle of length 2 and 1 cycle of length 4:
    (top, bottom), (back, left, front, right)        4a
    (top, bottom), (back, left, right, front)        1st missing case
    (top, bottom), (back, front, left, right)        4b
    (back, bottom), (left, right, top, front)        1b
    (back, bottom), (left, top, right, front)        1a
    (back, bottom), (left, top, front, right)        7b
3 cycles of length 2:
    (top, bottom), (front, back), (left, right)      3a
    (top, bottom), (front, left), (back, right)      3b
    (top, front), (left, bottom), (back, right)      2a

Bueno, este también requería un razonamiento geométrico en cada paso, así que lo máximo que podemos decir es que ahora estamos más seguros del cubo, ya que volvimos a obtener las mismas 16 soluciones.

Para el caso general, quizás algo como El método de recuento de Pólya podría adaptarse a estas descomposiciones en ciclos de longitud par (a diferencia de las coloraciones), para manejar las simetrías del poliedro en cuestión, pero no parece sencillo.