El prestigio del mago paradoja

Question

Probablemente conozcas el truco de la película The Prestige:

[SPOILER DE LA PELÍCULA] Un mago ha encontrado un impresionante truco de magia: entra en una máquina, cierra la puerta, y luego desaparece y reaparece al otro lado de la habitación. Pero la máquina no es perfecta: en lugar de simplemente teleportarlo, lo duplica. El mago se queda donde está, y se crea una copia al otro lado de la habitación. Luego, el mago en la máquina cae discretamente en un tanque de agua bajo el suelo y se ahoga. Editar: La probabilidad de que la nueva copia del mago se ahogue es de 1/2 (en otras palabras, la nueva copia tiene 1/2 posibilidades de ahogarse, y 1/2 posibilidades de aparecer en la habitación). Además, el tanque de agua nunca falla y las posibilidades son 1 de que el mago que cae en el tanque muera.

Entonces, al mago realmente no le gusta hacer este truco, porque "nunca sabes dónde vas a estar, al otro lado de la habitación o ahogado".

Ahora, el paradox es el siguiente: Imagina que el mago hace el truco 100 veces. ¿Cuáles son sus posibilidades de sobrevivir?

Editar, pregunta adicional: ¿Cuáles son las posibilidades del mago de conservar su cerebro físico y no tener uno nuevo?

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Análisis rápido: Por un lado, hay un mago vivo, y 100 magos ahogados, por lo que sus posibilidades son 1 de cada 100.

Por otro lado, cada vez que hace el truco, tiene 1/2 posibilidades de sobrevivir, por lo que sus posibilidades son $(1/2)^{100}=1/(2^{100})$ de seguir con vida.

¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Answer 1

Este error fue evidenciado en conversaciones escritas entre Fermat, Pascal y eminentes matemáticos franceses en 1654 cuando los dos primeros estaban considerando el "problema de los puntos". Un ejemplo simple es el siguiente:

Dos personas apuestan sobre el resultado de dos lanzamientos de una moneda justa. El jugador A gana si alguno de los lanzamientos es cara; de lo contrario, gana el jugador B. ¿Cuáles son las posibilidades de ganar del jugador B?

El argumento falso comienza examinando el conjunto de resultados posibles, que podemos enumerar:

1. H: El primer lanzamiento es cara. El jugador A gana.
2. TH: Solo el segundo lanzamiento es cara. El jugador A gana.
3. TT: Ningún lanzamiento es cara. Gana el jugador B.

Porque el jugador A tiene dos oportunidades de ganar y B solo tiene una oportunidad, las probabilidades a favor de B son (según este argumento) 1:2; es decir, las posibilidades de B son 1/3. Entre quienes defendían este argumento se encontraba Gilles Personne de Roberval, miembro fundador de la Academia de Ciencias de Francia.

El error es evidente para nosotros hoy, porque hemos sido educados por personas que aprendieron de esta discusión. Fermat argumentó (correctamente, pero no muy convincentemente) que el caso (1) realmente tiene que considerarse dos casos, como si el juego se hubiera jugado a través de ambos lanzamientos sin importar qué. Invocar una secuencia hipotética de lanzamientos que en realidad no se jugó hace que muchas personas se sientan incómodas. Hoy en día podríamos encontrar más convincente simplemente calcular las probabilidades de los casos individuales: la probabilidad de (1) es 1/2 y las probabilidades de (2) y (3) son cada una 1/4, de donde la probabilidad de que A gane es igual a 1/2 + 1/4 = 3/4 y la probabilidad de que B gane es 1/4. Estos cálculos se basan en axiomas de probabilidad, que fueron finalmente establecidos a principios del siglo XX, pero que fueron establecidos esencialmente en la caída de 1654 por Pascal y Fermat y popularizados en toda Europa tres años más tarde por Christiaan Huyghens en su breve tratado sobre probabilidad (el primero publicado), De ratiociniis in ludo aleae (cálculo en juegos de azar).

La pregunta presente puede ser modelada como 100 lanzamientos de moneda, donde cara representa la muerte y cruz representa la supervivencia. El argumento de "1 en 100" (que realmente debería ser 1/101, por cierto) tiene exactamente la misma falla.

Answer 2

Por un lado, hay un mago vivo y 100 magos ahogados, por lo que sus posibilidades son de 1 entre 100.

Este razonamiento asume implícitamente que cada mago tiene la misma probabilidad de ser el único que sobrevive al final del proceso. Sin embargo, solo el original tendría que pasar por las 100 pruebas, y él tendría las peores probabilidades. Contrasta al original con el último clon que se crea; él solo necesita sobrevivir una vez y tiene una probabilidad de 1 entre 2 de ser el único superviviente.

Imagina que en lugar de clones estamos tratando con un torneo de eliminación sencilla (como el famoso torneo de baloncesto NCAA cada marzo). El original tiene que durar 100 rondas mientras que el último clon solo tiene que jugar en la final del torneo. No todos los clones tienen la misma probabilidad de durar hasta el final, y el original tiene las peores probabilidades de $\frac{1}{2^{100}}$.

Answer 3

La probabilidad de que sobreviva es de 1 en cada prueba, y la probabilidad de que muera en cada prueba es de 1 (a pesar de la falla del tanque de agua). Después de duplicarse, ya no hay un "él"; hay "ellos".